MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 16766
Description: Lemma for rpmsubg 16767 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
cnmsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnmsubglem.2  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
cnmsubglem.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnmsubglem.4  |-  1  e.  A
cnmsubglem.5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, M, y

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnmsubglem.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
3 eldifsn 3929 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
41, 2, 3sylanbrc 647 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
54ssriv 3354 . 2  |-  A  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 cnmsubglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
7 ne0i 3636 . . 3  |-  ( 1  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
86, 7ax-mp 5 . 2  |-  A  =/=  (/)
9 cnmsubglem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
109ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
)
11 cnfldinv 16737 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
121, 2, 11syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
13 cnmsubglem.5 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
1412, 13eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
1510, 14jca 520 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A  /\  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1615rgen 2773 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
17 cnmgpabl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1817cnmgpabl 16765 . . 3  |-  M  e. 
Abel
19 ablgrp 15422 . . 3  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
20 difss 3476 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
21 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
22 cnfldbas 16712 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2321, 22mgpbas 15659 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
2417, 23ressbas2 13525 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  M
) )
2520, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  M )
26 cnex 9076 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
27 difexg 4354 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
28 cnfldmul 16714 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2921, 28mgpplusg 15657 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3017, 29ressplusg 13576 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  M ) )
3126, 27, 30mp2b 10 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
32 cnfld0 16730 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
33 cndrng 16735 . . . . . 6  |-fld  e.  DivRing
3422, 32, 33drngui 15846 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
35 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
3634, 17, 35invrfval 15783 . . . 4  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  M )
3725, 31, 36issubg2 14964 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
3818, 19, 37mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
395, 8, 16, 38mpbir3an 1137 1  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    / cdiv 9682   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   +g cplusg 13534   Grpcgrp 14690  SubGrpcsubg 14943   Abelcabel 15418  mulGrpcmgp 15653   invrcinvr 15781  ℂfldccnfld 16708
This theorem is referenced by:  rpmsubg  16767  cnmsgnsubg  27425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-cnfld 16709
  Copyright terms: Public domain W3C validator