MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Unicode version

Theorem cnmsubglem 16716
Description: Lemma for rpmsubg 16717 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
cnmsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnmsubglem.2  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
cnmsubglem.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnmsubglem.4  |-  1  e.  A
cnmsubglem.5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, M, y

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnmsubglem.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
3 eldifsn 3887 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
54ssriv 3312 . 2  |-  A  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 cnmsubglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
7 ne0i 3594 . . 3  |-  ( 1  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  A  =/=  (/)
9 cnmsubglem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
109ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
)
11 cnfldinv 16687 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
121, 2, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
13 cnmsubglem.5 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
1412, 13eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
1510, 14jca 519 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A  /\  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1615rgen 2731 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
17 cnmgpabl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1817cnmgpabl 16715 . . 3  |-  M  e. 
Abel
19 ablgrp 15372 . . 3  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
20 difss 3434 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
21 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
22 cnfldbas 16662 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2321, 22mgpbas 15609 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
2417, 23ressbas2 13475 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  M
) )
2520, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  M )
26 cnex 9027 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
27 difexg 4311 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
28 cnfldmul 16664 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2921, 28mgpplusg 15607 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3017, 29ressplusg 13526 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  M ) )
3126, 27, 30mp2b 10 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
32 cnfld0 16680 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
33 cndrng 16685 . . . . . 6  |-fld  e.  DivRing
3422, 32, 33drngui 15796 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
35 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
3634, 17, 35invrfval 15733 . . . 4  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  M )
3725, 31, 36issubg2 14914 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
3818, 19, 37mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
395, 8, 16, 38mpbir3an 1136 1  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    / cdiv 9633   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   Abelcabel 15368  mulGrpcmgp 15603   invrcinvr 15731  ℂfldccnfld 16658
This theorem is referenced by:  rpmsubg  16717  cnmsgnsubg  27302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-cnfld 16659
  Copyright terms: Public domain W3C validator