MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Unicode version

Theorem cnmsubglem 16540
Description: Lemma for rpmsubg 16541 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
cnmsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnmsubglem.2  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
cnmsubglem.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnmsubglem.4  |-  1  e.  A
cnmsubglem.5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, M, y

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnmsubglem.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  =/=  0 )
3 eldifsn 3825 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
54ssriv 3260 . 2  |-  A  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 cnmsubglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
7 ne0i 3537 . . 3  |-  ( 1  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  A  =/=  (/)
9 cnmsubglem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
109ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
)
11 cnfldinv 16511 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
121, 2, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
13 cnmsubglem.5 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
1  /  x )  e.  A )
1412, 13eqeltrd 2432 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
1510, 14jca 518 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A  /\  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
1615rgen 2684 . 2  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
17 cnmgpabl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1817cnmgpabl 16539 . . 3  |-  M  e. 
Abel
19 ablgrp 15193 . . 3  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
20 difss 3379 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
21 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
22 cnfldbas 16486 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2321, 22mgpbas 15430 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
2417, 23ressbas2 13296 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  M
) )
2520, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  M )
26 cnex 8908 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
27 difexg 4243 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
28 cnfldmul 16488 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2921, 28mgpplusg 15428 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3017, 29ressplusg 13347 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  M ) )
3126, 27, 30mp2b 9 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
32 cnfld0 16504 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
33 cndrng 16509 . . . . . 6  |-fld  e.  DivRing
3422, 32, 33drngui 15617 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
35 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
3634, 17, 35invrfval 15554 . . . 4  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  M )
3725, 31, 36issubg2 14735 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) ) )
3818, 19, 37mp2b 9 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  M
)  <->  ( A  C_  ( CC  \  { 0 } )  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  x.  y )  e.  A  /\  (
( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) ) )
395, 8, 16, 38mpbir3an 1134 1  |-  A  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   0cc0 8827   1c1 8828    x. cmul 8832    / cdiv 9513   Basecbs 13245   ↾s cress 13246   +g cplusg 13305   Grpcgrp 14461  SubGrpcsubg 14714   Abelcabel 15189  mulGrpcmgp 15424   invrcinvr 15552  ℂfldccnfld 16482
This theorem is referenced by:  rpmsubg  16541  cnmsgnsubg  26757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-cnfld 16483
  Copyright terms: Public domain W3C validator