Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Unicode version

Theorem cnmsubglem 16766
 Description: Lemma for rpmsubg 16767 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m mulGrpflds
cnmsubglem.1
cnmsubglem.2
cnmsubglem.3
cnmsubglem.4
cnmsubglem.5
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4
2 cnmsubglem.2 . . . 4
3 eldifsn 3929 . . . 4
41, 2, 3sylanbrc 647 . . 3
54ssriv 3354 . 2
6 cnmsubglem.4 . . 3
7 ne0i 3636 . . 3
86, 7ax-mp 5 . 2
9 cnmsubglem.3 . . . . 5
109ralrimiva 2791 . . . 4
11 cnfldinv 16737 . . . . . 6 fld
121, 2, 11syl2anc 644 . . . . 5 fld
13 cnmsubglem.5 . . . . 5
1412, 13eqeltrd 2512 . . . 4 fld
1510, 14jca 520 . . 3 fld
1615rgen 2773 . 2 fld
17 cnmgpabl.m . . . 4 mulGrpflds
1817cnmgpabl 16765 . . 3
19 ablgrp 15422 . . 3
20 difss 3476 . . . . 5
21 eqid 2438 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
22 cnfldbas 16712 . . . . . . 7 fld
2321, 22mgpbas 15659 . . . . . 6 mulGrpfld
2417, 23ressbas2 13525 . . . . 5
2520, 24ax-mp 5 . . . 4
26 cnex 9076 . . . . 5
27 difexg 4354 . . . . 5
28 cnfldmul 16714 . . . . . . 7 fld
2921, 28mgpplusg 15657 . . . . . 6 mulGrpfld
3017, 29ressplusg 13576 . . . . 5
3126, 27, 30mp2b 10 . . . 4
32 cnfld0 16730 . . . . . 6 fld
33 cndrng 16735 . . . . . 6 fld
3422, 32, 33drngui 15846 . . . . 5 Unitfld
35 eqid 2438 . . . . 5 fld fld
3634, 17, 35invrfval 15783 . . . 4 fld
3725, 31, 36issubg2 14964 . . 3 SubGrp fld
3818, 19, 37mp2b 10 . 2 SubGrp fld
395, 8, 16, 38mpbir3an 1137 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000   cdiv 9682  cbs 13474   ↾s cress 13475   cplusg 13534  cgrp 14690  SubGrpcsubg 14943  cabel 15418  mulGrpcmgp 15653  cinvr 15781  ℂfldccnfld 16708 This theorem is referenced by:  rpmsubg  16767  cnmsgnsubg  27425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-cnfld 16709
 Copyright terms: Public domain W3C validator