MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Unicode version

Theorem cnnv 21245
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is  +, the scalar product is  x., and the norm function is  abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem cnnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21017 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 20951 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 8816 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5394 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 20879 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 21018 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 cncvc 21139 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
9 absf 11821 . 2  |-  abs : CC
--> RR
10 abs00 11774 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
1110biimpa 470 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
12 absmul 11779 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  x
) ) )
13 abstri 11814 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
14 cnnv.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 21169 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643    X. cxp 4687   ` cfv 5255   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   abscabs 11719   GrpOpcgr 20853   AbelOpcablo 20948   NrmCVeccnv 21140
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  21248  cnnvm  21251  elimnvu  21253  cnims  21266  cncph  21397  ipblnfi  21434  cnbn  21448  htthlem  21497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148
  Copyright terms: Public domain W3C validator