Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Unicode version

Theorem cnnvm 22024
 Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6
Assertion
Ref Expression
cnnvm

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 9409 . . . . . 6
21adantl 453 . . . . 5
32oveq2d 6038 . . . 4
4 negsub 9283 . . . 4
53, 4eqtr2d 2422 . . 3
65mpt2eq3ia 6080 . 2
7 subf 9241 . . . 4
8 ffn 5533 . . . 4
97, 8ax-mp 8 . . 3
10 fnov 6119 . . 3
119, 10mpbi 200 . 2
12 cnnvm.6 . . . 4
1312cnnv 22018 . . 3
1412cnnvba 22020 . . . 4
1512cnnvg 22019 . . . 4
1612cnnvs 22022 . . . 4
17 eqid 2389 . . . 4
1814, 15, 16, 17nvmfval 21975 . . 3
1913, 18ax-mp 8 . 2
206, 11, 193eqtr4i 2419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  cop 3762   cxp 4818   wfn 5391  wf 5392  cfv 5396  (class class class)co 6022   cmpt2 6024  cc 8923  c1 8926   caddc 8928   cmul 8930   cmin 9225  cneg 9226  cabs 11968  cnv 21913  cnsb 21918 This theorem is referenced by:  cnims  22039 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929
 Copyright terms: Public domain W3C validator