MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Unicode version

Theorem cnnvm 22166
Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnvm  |-  -  =  ( -v `  U )

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 9467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
32oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
4 negsub 9341 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
53, 4eqtr2d 2468 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
65mpt2eq3ia 6131 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y
) ) )
7 subf 9299 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
8 ffn 5583 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
10 fnov 6170 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
119, 10mpbi 200 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
12 cnnvm.6 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
1312cnnv 22160 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
1412cnnvba 22162 . . . 4  |-  CC  =  ( BaseSet `  U )
1512cnnvg 22161 . . . 4  |-  +  =  ( +v `  U )
1612cnnvs 22164 . . . 4  |-  x.  =  ( .s OLD `  U
)
17 eqid 2435 . . . 4  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
1814, 15, 16, 17nvmfval 22117 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( -v `  U )  =  ( x  e.  CC , 
y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) )
1913, 18ax-mp 8 . 2  |-  ( -v
`  U )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) )
206, 11, 193eqtr4i 2465 1  |-  -  =  ( -v `  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284   abscabs 12031   NrmCVeccnv 22055   -vcnsb 22060
This theorem is referenced by:  cnims  22181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071
  Copyright terms: Public domain W3C validator