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Theorem cnpco 16996
Description: The composition of two continuous functions at point  P is a continuous function at point 
P. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnpco  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )

Proof of Theorem cnpco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 16972 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  J  e.  Top )
3 cnptop2 16973 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  L  e.  Top )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  L  e.  Top )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65cnprcl 16975 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  P  e.  U. J )
82, 4, 73jca 1132 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J ) )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. L  =  U. L
119, 10cnpf 16977 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) )  ->  G : U. K --> U. L )
1211adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  G : U. K --> U. L
)
135, 9cnpf 16977 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
15 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( G : U. K --> U. L  /\  F : U. J --> U. K )  -> 
( G  o.  F
) : U. J --> U. L )
1612, 14, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : U. J --> U. L
)
17 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )
18 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
z  e.  L )
19 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  P  e. 
U. J )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
2014, 7, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  P )  =  ( G `  ( F `  P ) ) )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  =  ( G `
 ( F `  P ) ) )
22 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z )
2321, 22eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( G `  ( F `  P )
)  e.  z )
24 cnpimaex 16986 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 ( F `  P ) )  /\  z  e.  L  /\  ( G `  ( F `
 P ) )  e.  z )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
2517, 18, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) )
26 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
27 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
y  e.  K )
28 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( F `  P
)  e.  y )
29 cnpimaex 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
31 imaco 5178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  o.  F )
" x )  =  ( G " ( F " x ) )
32 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( G " ( F "
x ) )  C_  ( G " y ) )
3331, 32syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y ) )
34 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( G " y
)  C_  z )
35 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  ( G "
y )  ->  (
( G " y
)  C_  z  ->  ( ( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) )
3634, 35syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) "
x )  C_  ( G " y )  -> 
( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3733, 36syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
3837anim2d 548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) )
3938reximdv 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4030, 39mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  ( y  e.  K  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  ( G "
y )  C_  z
) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4140expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  /\  y  e.  K )  ->  ( ( ( F `
 P )  e.  y  /\  ( G
" y )  C_  z )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4241rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  -> 
( E. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  /\  ( G
" y )  C_  z )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4325, 42mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  ( z  e.  L  /\  ( ( G  o.  F ) `
 P )  e.  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
)
4443expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  /\  G  e.  (
( K  CnP  L
) `  ( F `  P ) ) )  /\  z  e.  L
)  ->  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4544ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) )
4616, 45jca 518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) : U. J --> U. L  /\  A. z  e.  L  ( (
( G  o.  F
) `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
( G  o.  F
) " x ) 
C_  z ) ) ) )
475, 10iscnp2 16969 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  P  e. 
U. J )  /\  ( ( G  o.  F ) : U. J
--> U. L  /\  A. z  e.  L  (
( ( G  o.  F ) `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( ( G  o.  F ) " x
)  C_  z )
) ) ) )
488, 46, 47sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  G  e.  ( ( K  CnP  L ) `  ( F `  P ) ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( ( J  CnP  L ) `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  limccnp  19241  limccnp2  19242  efrlim  20264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cnp 16958
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