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Theorem cnpcon 23776
Description: An image of a path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpcon.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpcon  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )

Proof of Theorem cnpcon
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 16987 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43pconcn 23770 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PCon  /\  u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  u  /\  ( g ` 
1 )  =  v ) )
543expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
653ad2antl1 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  J
) ( ( g `
 0 )  =  u  /\  ( g `
 1 )  =  v ) )
7 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
8 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
9 cnco 17011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( II  Cn  K ) )
11 iiuni 18401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
1211, 3cnf 16992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( II  Cn  J )  ->  g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
137, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  g :
( 0 [,] 1
) --> U. J )
14 0elunit 10770 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
15 fvco3 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  ( F `  ( g `  0
) ) )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  (
g `  0 )
) )
17 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  u )
1817fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  0
) )  =  ( F `  u ) )
1916, 18eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) )
20 1elunit 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
21 fvco3 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  ( F `  ( g `  1
) ) )
2213, 20, 21sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  (
g `  1 )
) )
23 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  v )
2423fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( F `  ( g `  1
) )  =  ( F `  v ) )
2522, 24eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) )
26 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
0 ) )
2726eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  u
) ) )
28 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( F  o.  g ) ` 
1 ) )
2928eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3027, 29anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( ( F  o.  g ) `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  v
) ) ) )
3130rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( F  o.  g ) ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( ( F  o.  g ) ` 
1 )  =  ( F `  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3210, 19, 25, 31syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  u  /\  (
g `  1 )  =  v ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3332expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e. 
U. J  /\  v  e.  U. J ) )  /\  g  e.  ( II  Cn  J ) )  ->  ( (
( g `  0
)  =  u  /\  ( g `  1
)  =  v )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) ) ) )
3433rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  u  /\  ( g ` 
1 )  =  v )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) ) )
356, 34mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  e.  U. J  /\  v  e.  U. J
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
3635ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) ) )
37 cnpcon.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
383, 37cnf 16992 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
39383ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> Y )
40 forn 5470 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
41403ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F  =  Y )
42 dffo2 5471 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F : U. J --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
4339, 41, 42sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
44 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( f `  1
)  =  ( F `
 v )  <->  ( f `  1 )  =  y ) )
4544anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4645rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  v )  =  y  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4746cbvfo 5815 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. v  e. 
U. J E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  ( F `  v
) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) ) )
4843, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
4948ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. v  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  v ) )  <->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5036, 49mpbid 201 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y ) )
51 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( f `  0
)  =  ( F `
 u )  <->  ( f `  0 )  =  x ) )
5251anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5352rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5453ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ( F `  u )  =  x  ->  ( A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5554cbvfo 5815 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  ( A. u  e. 
U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  ( F `  u
)  /\  ( f `  1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
5643, 55syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. u  e.  U. J A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  ( F `  u )  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
5750, 56mpbid 201 . 2  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
5837ispcon 23769 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
592, 57, 58sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e. PCon  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   U.cuni 3843   ran crn 4706    o. ccom 4709   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   [,]cicc 10675   Topctop 16647    Cn ccn 16970   IIcii 18395  PConcpcon 23765
This theorem is referenced by:  qtoppcon  23782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-ii 18397  df-pcon 23767
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