Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpdis Structured version   Unicode version

Theorem cnpdis 17349
 Description: If is an isolated point in (or equivalently, the singleton is open in ), then every function is continuous at . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpdis TopOn TopOn

Proof of Theorem cnpdis
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 737 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
2 simpll3 998 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
3 snidg 3831 . . . . . . . . 9
42, 3syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
5 simprr 734 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
6 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
7 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11
8 elpreima 5842 . . . . . . . . . . 11
96, 7, 83syl 19 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
102, 5, 9mpbir2and 889 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1110snssd 3935 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
12 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
13 sseq1 3361 . . . . . . . . . 10
1412, 13anbi12d 692 . . . . . . . . 9
1514rspcev 3044 . . . . . . . 8
161, 4, 11, 15syl12anc 1182 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1716expr 599 . . . . . 6 TopOn TopOn
1817ralrimiva 2781 . . . . 5 TopOn TopOn
1918expr 599 . . . 4 TopOn TopOn
2019pm4.71d 616 . . 3 TopOn TopOn
21 simpl2 961 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
22 toponmax 16985 . . . . 5 TopOn
2321, 22syl 16 . . . 4 TopOn TopOn
24 simpl1 960 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
25 toponmax 16985 . . . . 5 TopOn
2624, 25syl 16 . . . 4 TopOn TopOn
27 elmapg 7023 . . . 4
2823, 26, 27syl2anc 643 . . 3 TopOn TopOn
29 iscnp3 17300 . . . 4 TopOn TopOn
3029adantr 452 . . 3 TopOn TopOn
3120, 28, 303bitr4rd 278 . 2 TopOn TopOn
3231eqrdv 2433 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  csn 3806  ccnv 4869  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  TopOnctopon 16951   ccnp 17281 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16955  df-topon 16958  df-cnp 17284
 Copyright terms: Public domain W3C validator