MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Unicode version

Theorem cnpf2 16980
Description: A continuous function at point  P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 16977 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
4 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54feq2d 5380 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> Y ) )
6 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
7 feq3 5377 . . . . 5  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( F : U. J
--> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( F : U. J --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
95, 8sylan9bb 680 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
103, 9syl5ibr 212 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> Y ) )
11103impia 1148 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  1stccnp  17188  txcnp  17314  ptcnplem  17315  ptcnp  17316  cnpflf2  17695  cnpflf  17696  flfcnp  17699  flfcnp2  17702  cnpfcf  17736  ghmcnp  17797  metcnpi3  18092  limcvallem  19221  cnplimc  19237  limccnp  19241  limccnp2  19242  ftc1lem3  19385  iscnp4  25563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cnp 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator