MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Unicode version

Theorem cnpf2 17268
Description: A continuous function at point  P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2404 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 17265 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
4 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54feq2d 5540 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> Y ) )
6 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
7 feq3 5537 . . . . 5  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( F : U. J
--> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( F : U. J --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
95, 8sylan9bb 681 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
103, 9syl5ibr 213 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> Y ) )
11103impia 1150 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  iscnp4  17281  1stccnp  17478  txcnp  17605  ptcnplem  17606  ptcnp  17607  cnpflf2  17985  cnpflf  17986  flfcnp  17989  flfcnp2  17992  cnpfcf  18026  ghmcnp  18097  metcnpi3  18529  limcvallem  19711  cnplimc  19727  limccnp  19731  limccnp2  19732  ftc1lem3  19875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-top 16918  df-topon 16921  df-cnp 17246
  Copyright terms: Public domain W3C validator