MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnpf2 17319
Description: A continuous function at point  P is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem cnpf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2438 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 17316 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : U. J --> U. K
)
4 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54feq2d 5584 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> Y ) )
6 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
7 feq3 5581 . . . . 5  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( F : U. J
--> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( F : U. J --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
95, 8sylan9bb 682 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F : X --> Y  <->  F : U. J --> U. K ) )
103, 9syl5ibr 214 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> Y ) )
11103impia 1151 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   U.cuni 4017   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084  TopOnctopon 16964    CnP ccnp 17294
This theorem is referenced by:  iscnp4  17332  1stccnp  17530  txcnp  17657  ptcnplem  17658  ptcnp  17659  cnpflf2  18037  cnpflf  18038  flfcnp  18041  flfcnp2  18044  cnpfcf  18078  ghmcnp  18149  metcnpi3  18581  limcvallem  19763  cnplimc  19779  limccnp  19783  limccnp2  19784  ftc1lem3  19927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-top 16968  df-topon 16971  df-cnp 17297
  Copyright terms: Public domain W3C validator