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Theorem cnpfcf 17752
Description: A function  F is continuous at point  A iff  F respects cluster points there. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, J    f, K    f, X    f, Y

Proof of Theorem cnpfcf
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 16996 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1113 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5 cnpfcfi 17751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
653com23 1157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  A  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )
763expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
84, 7sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
98ralrimivw 2640 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
1093ad2antl2 1118 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )
113, 10jca 518 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
1211ex 423 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
13 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
14 filfbas 17559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ( fBas `  X )
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  X ) )
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  h  e.  ( Fil `  Y ) )
17 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  F : X --> Y )
18 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h )
1915, 16, 17, 18fmfnfm 17669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
20 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( g 
C_  f  /\  h  =  ( ( Y 
FilMap  F ) `  f
) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) ) )
21 flimfcls 17737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J 
fLim  f )  C_  ( J  fClus  f )
22 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
25 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
g  C_  f )
26 flimss2 17683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  C_  f )  ->  ( J  fLim  g )  C_  ( J  fLim  f ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  C_  ( J  fLim  f ) )
28 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g
) )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g ) )
3027, 29sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f ) )
3121, 30sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  f ) )
32 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
34 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  F : X --> Y )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
36 fcfval 17744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fClusf  f ) `
 F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) )
3733, 24, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
38 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  ->  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )
3938oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( K  fClus  h )  =  ( K  fClus  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )
4037, 39eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  h ) )
4140eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4241biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) )
4331, 42embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4443expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
4544com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
4645imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) )  /\  ( h  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h ) )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( (
( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  (
( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4746rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( E. f  e.  ( Fil `  X
) ( ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4820, 47syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  /\  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( g  C_  f  /\  h  =  ( ( Y  FilMap  F ) `
 f ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
4919, 48mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  (
h  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) )
5049expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5150com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )  /\  h  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
5251ralrimdva 2646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
53 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
5432, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  e.  K )
55 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( Fil `  X
) )
5655, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  g  e.  ( fBas `  X
) )
57 fmfil 17655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  K  /\  g  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  g )  e.  ( Fil `  Y
) )
5854, 56, 34, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  Y
) )
59 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6032, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  Y  =  U. K )
6160fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( Fil `  Y )  =  ( Fil `  U. K ) )
6258, 61eleqtrd 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K ) )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
6463flimfnfcls 17739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  e.  ( Fil `  U. K )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
6562, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  g
) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `
 g )  C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h )
) ) )
66 flfval 17701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6732, 55, 34, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( K  fLimf  g ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 g ) ) )
6867eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  ( F `  A )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) ) ) )
6961raleqdv 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  Y ) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g ) 
C_  h  ->  ( F `  A )  e.  ( K  fClus  h ) )  <->  A. h  e.  ( Fil `  U. K
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7065, 68, 693bitr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  g ) `  F )  <->  A. h  e.  ( Fil `  Y
) ( ( ( Y  FilMap  F ) `  g )  C_  h  ->  ( F `  A
)  e.  ( K 
fClus  h ) ) ) )
7152, 70sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) )
7271expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7372com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7473ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  ->  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) )
7574imdistanda 674 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
76 cnpflf 17712 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. g  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fLim  g
)  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  g ) `
 F ) ) ) ) )
7775, 76sylibrd 225 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
7812, 77impbid 183 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( A  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971   fBascfbas 17534   Filcfil 17556    FilMap cfm 17644    fLim cflim 17645    fLimf cflf 17646    fClus cfcls 17647    fClusf cfcf 17648
This theorem is referenced by:  cnfcf  17753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cnp 16974  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-fcls 17652  df-fcf 17653
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