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Theorem cnpfcfi 17993
Description: Lemma for cnpfcf 17994. If a function is continuous at a point, it respects clustering there. (Contributed by Jeff Hankins, 20-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcfi  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpfcfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  L ) )
2 eqid 2387 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
32fclsfil 17963 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fClus  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
433ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
5 fclsfnflim 17980 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )
71, 6mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
8 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 16921 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  U. J
) )
132, 9cnpf 17233 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
14133ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
16 flfssfcf 17991 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  C_  (
( K  fClusf  f ) `
 F ) )
1711, 12, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )
189topopn 16902 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
198, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  U. K  e.  K
)
204adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 filfbas 17801 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  L  e.  ( fBas `  U. J ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  (
fBas `  U. J ) )
23 fmfil 17897 . . . . . . 7  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  F : U. J
--> U. K )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  e.  ( Fil `  U. K ) )
2419, 22, 15, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K
) )
25 filfbas 17801 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  ->  f  e.  ( fBas `  U. J ) )
2625ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  (
fBas `  U. J ) )
27 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  C_  f
)
28 fmss 17899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  f  e.  ( fBas `  U. J ) )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  L  C_  f ) )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) )
2919, 22, 26, 15, 27, 28syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  C_  (
( U. K  FilMap  F ) `  f ) )
30 fclsss2 17976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L ) 
C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) 
C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L ) ) )
3111, 24, 29, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
32 fcfval 17986 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) )
3311, 12, 15, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f
) ) )
34 fcfval 17986 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  L ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 L ) ) )
3511, 20, 15, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  L ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
3631, 33, 353sstr4d 3334 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
3717, 36sstrd 3301 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
38 simprrr 742 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f )
)
39 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
40 cnpflfi 17952 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )
4237, 41sseldd 3292 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
437, 42rexlimddv 2777 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650    C_ wss 3263   U.cuni 3957   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   fBascfbas 16615   Topctop 16881  TopOnctopon 16882    CnP ccnp 17211   Filcfil 17798    FilMap cfm 17886    fLim cflim 17887    fLimf cflf 17888    fClus cfcls 17889    fClusf cfcf 17890
This theorem is referenced by:  cnpfcf  17994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-topon 16889  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cnp 17214  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-fcls 17894  df-fcf 17895
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