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Theorem cnpfcfi 18077
Description: Lemma for cnpfcf 18078. If a function is continuous at a point, it respects clustering there. (Contributed by Jeff Hankins, 20-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcfi  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpfcfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  L ) )
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
32fclsfil 18047 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fClus  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
433ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
5 fclsfnflim 18064 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )
71, 6mpbid 203 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
8 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 17003 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  U. J
) )
132, 9cnpf 17316 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
14133ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
1514adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
16 flfssfcf 18075 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  C_  (
( K  fClusf  f ) `
 F ) )
1711, 12, 15, 16syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )
189topopn 16984 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
198, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  U. K  e.  K
)
204adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 filfbas 17885 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  L  e.  ( fBas `  U. J ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  (
fBas `  U. J ) )
23 fmfil 17981 . . . . . . 7  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  F : U. J
--> U. K )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  e.  ( Fil `  U. K ) )
2419, 22, 15, 23syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K
) )
25 filfbas 17885 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  ->  f  e.  ( fBas `  U. J ) )
2625ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  (
fBas `  U. J ) )
27 simprrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  C_  f
)
28 fmss 17983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  f  e.  ( fBas `  U. J ) )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  L  C_  f ) )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) )
2919, 22, 26, 15, 27, 28syl32anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  C_  (
( U. K  FilMap  F ) `  f ) )
30 fclsss2 18060 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L ) 
C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) 
C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L ) ) )
3111, 24, 29, 30syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
32 fcfval 18070 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) )
3311, 12, 15, 32syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f
) ) )
34 fcfval 18070 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  L ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 L ) ) )
3511, 20, 15, 34syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  L ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
3631, 33, 353sstr4d 3393 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
3717, 36sstrd 3360 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
38 simprrr 743 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f )
)
39 simpl3 963 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
40 cnpflfi 18036 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )
4138, 39, 40syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )
4237, 41sseldd 3351 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
437, 42rexlimddv 2836 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   U.cuni 4017   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   fBascfbas 16694   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    CnP ccnp 17294   Filcfil 17882    FilMap cfm 17970    fLim cflim 17971    fLimf cflf 17972    fClus cfcls 17973    fClusf cfcf 17974
This theorem is referenced by:  cnpfcf  18078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cnp 17297  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-fcls 17978  df-fcf 17979
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