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Theorem cnpfcfi 18064
Description: Lemma for cnpfcf 18065. If a function is continuous at a point, it respects clustering there. (Contributed by Jeff Hankins, 20-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfcfi  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpfcfi
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  L ) )
2 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
32fclsfil 18034 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( J  fClus  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
433ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
5 fclsfnflim 18051 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  L )  <->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )
71, 6mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  U. J ) ( L 
C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
8 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 16990 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  U. J
) )
132, 9cnpf 17303 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
14133ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
16 flfssfcf 18062 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  C_  (
( K  fClusf  f ) `
 F ) )
1711, 12, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )
189topopn 16971 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
198, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  U. K  e.  K
)
204adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
21 filfbas 17872 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  U. J )  ->  L  e.  ( fBas `  U. J ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  e.  (
fBas `  U. J ) )
23 fmfil 17968 . . . . . . 7  |-  ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  F : U. J
--> U. K )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  e.  ( Fil `  U. K ) )
2419, 22, 15, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K
) )
25 filfbas 17872 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  ->  f  e.  ( fBas `  U. J ) )
2625ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  f  e.  (
fBas `  U. J ) )
27 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  L  C_  f
)
28 fmss 17970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  L  e.  ( fBas `  U. J )  /\  f  e.  ( fBas `  U. J ) )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  L  C_  f ) )  -> 
( ( U. K  FilMap  F ) `  L
)  C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) )
2919, 22, 26, 15, 27, 28syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L )  C_  (
( U. K  FilMap  F ) `  f ) )
30 fclsss2 18047 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  U. K )  /\  (
( U. K  FilMap  F ) `  L ) 
C_  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  -> 
( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) 
C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L ) ) )
3111, 24, 29, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f ) )  C_  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
32 fcfval 18057 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 f ) ) )
3311, 12, 15, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  f
) ) )
34 fcfval 18057 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( K  fClusf  L ) `  F )  =  ( K  fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `
 L ) ) )
3511, 20, 15, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  L ) `  F
)  =  ( K 
fClus  ( ( U. K  FilMap  F ) `  L
) ) )
3631, 33, 353sstr4d 3383 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
3717, 36sstrd 3350 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  C_  ( ( K  fClusf  L ) `  F ) )
38 simprrr 742 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  f )
)
39 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
40 cnpflfi 18023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  f )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )
4237, 41sseldd 3341 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J 
fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( f  e.  ( Fil `  U. J )  /\  ( L  C_  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
437, 42rexlimddv 2826 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  e.  ( J  fClus  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fClusf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   U.cuni 4007   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    CnP ccnp 17281   Filcfil 17869    FilMap cfm 17957    fLim cflim 17958    fLimf cflf 17959    fClus cfcls 17960    fClusf cfcf 17961
This theorem is referenced by:  cnpfcf  18065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cnp 17284  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-fcls 17965  df-fcf 17966
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