Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpflf Structured version   Unicode version

Theorem cnpflf 18035
 Description: Continuity of a function at a point in terms of filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cnpflf
StepHypRef Expression
1 cnpf2 17316 . . . . . 6 TopOn TopOn
213expa 1154 . . . . 5 TopOn TopOn
323adantl3 1116 . . . 4 TopOn TopOn
4 cnpflfi 18033 . . . . . . 7
54expcom 426 . . . . . 6
65ralrimivw 2792 . . . . 5
76adantl 454 . . . 4 TopOn TopOn
83, 7jca 520 . . 3 TopOn TopOn
98ex 425 . 2 TopOn TopOn
10 simpl1 961 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
11 simpl3 963 . . . . . 6 TopOn TopOn
12 neiflim 18008 . . . . . 6 TopOn
1310, 11, 12syl2anc 644 . . . . 5 TopOn TopOn
1411snssd 3945 . . . . . . 7 TopOn TopOn
15 snnzg 3923 . . . . . . . 8
1611, 15syl 16 . . . . . . 7 TopOn TopOn
17 neifil 17914 . . . . . . 7 TopOn
1810, 14, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . 6 TopOn TopOn
19 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
2019eleq2d 2505 . . . . . . . 8
21 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
2221fveq1d 5732 . . . . . . . . 9
2322eleq2d 2505 . . . . . . . 8
2420, 23imbi12d 313 . . . . . . 7
2524rspcv 3050 . . . . . 6
2618, 25syl 16 . . . . 5 TopOn TopOn
2713, 26mpid 40 . . . 4 TopOn TopOn
2827imdistanda 676 . . 3 TopOn TopOn
29 eqid 2438 . . . 4
3029cnpflf2 18034 . . 3 TopOn TopOn
3128, 30sylibrd 227 . 2 TopOn TopOn
329, 31impbid 185 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   wss 3322  c0 3630  csn 3816  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  TopOnctopon 16961  cnei 17163   ccnp 17291  cfil 17879   cflim 17968   cflf 17969 This theorem is referenced by:  cnflf  18036  cnpfcf  18075 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-cnp 17294  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974
 Copyright terms: Public domain W3C validator