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Theorem cnpflfi 17907
Description: Forward direction of cnpflf 17909. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpflfi  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )

Proof of Theorem cnpflfi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 17194 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F : U. J --> U. K
)
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : U. J --> U. K )
51flimelbas 17876 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  A  e.  U. J )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  U. J )
7 ffvelrn 5770 . . 3  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  A  e. 
U. J )  -> 
( F `  A
)  e.  U. K
)
84, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  U. K )
9 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
10 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  x  e.  K )
11 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( F `  A
)  e.  x )
12 cnpimaex 17203 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
139, 10, 11, 12syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)
14 anass 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y
)  /\  ( F " y )  C_  x
)  <->  ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) )
15 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
16 flimtop 17873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  J  e.  Top )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
181toptopon 16888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
201flimfil 17877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( J  fLim  L )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  U. J
) )
22 flimopn 17883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  L )  <->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  L
)  <->  ( A  e. 
U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) ) )
2415, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( A  e.  U. J  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) ) )
2524simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2625adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  y  e.  L ) )
2726r19.21bi 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  y  e.  L
) )
2827expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  L ) )
2928anim1d 547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( ( y  e.  J  /\  A  e.  y )  /\  ( F " y )  C_  x )  ->  (
y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  x ) ) )
3014, 29syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( ( y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) )  -> 
( y  e.  L  /\  ( F " y
)  C_  x )
) )
3130reximdv2 2737 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  x )  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
3213, 31mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x )
3332expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( J  fLim  L )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  x ) )
3433ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A. x  e.  K  ( ( F `  A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) )
35 cnptop2 17190 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
3635adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 16888 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3836, 37sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
39 isflf 17901 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  U. J )  /\  F : U. J --> U. K
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
4038, 21, 4, 39syl3anc 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <-> 
( ( F `  A )  e.  U. K  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  x  ->  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  x
) ) ) )
418, 34, 40mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   U.cuni 3929   "cima 4795   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Topctop 16848  TopOnctopon 16849    CnP ccnp 17172   Filcfil 17753    fLim cflim 17842    fLimf cflf 17843
This theorem is referenced by:  cnpflf2  17908  cnpflf  17909  flfcnp  17912  cnpfcfi  17948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6917  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-top 16853  df-topon 16856  df-ntr 16974  df-nei 17052  df-cnp 17175  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848
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