Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpfval Structured version   Unicode version

Theorem cnpfval 17298
 Description: The function mapping the points in a topology to the set of all functions from to topology continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfval TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnpfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnp 17292 . . 3
21a1i 11 . 2 TopOn TopOn
3 simprl 733 . . . . 5 TopOn TopOn
43unieqd 4026 . . . 4 TopOn TopOn
5 toponuni 16992 . . . . 5 TopOn
65ad2antrr 707 . . . 4 TopOn TopOn
74, 6eqtr4d 2471 . . 3 TopOn TopOn
8 simprr 734 . . . . . . 7 TopOn TopOn
98unieqd 4026 . . . . . 6 TopOn TopOn
10 toponuni 16992 . . . . . . 7 TopOn
1110ad2antlr 708 . . . . . 6 TopOn TopOn
129, 11eqtr4d 2471 . . . . 5 TopOn TopOn
1312, 7oveq12d 6099 . . . 4 TopOn TopOn
143rexeqdv 2911 . . . . . 6 TopOn TopOn
1514imbi2d 308 . . . . 5 TopOn TopOn
168, 15raleqbidv 2916 . . . 4 TopOn TopOn
1713, 16rabeqbidv 2951 . . 3 TopOn TopOn
187, 17mpteq12dv 4287 . 2 TopOn TopOn
19 topontop 16991 . . 3 TopOn
2019adantr 452 . 2 TopOn TopOn
21 topontop 16991 . . 3 TopOn
2221adantl 453 . 2 TopOn TopOn
23 ssrab2 3428 . . . . . 6
24 ovex 6106 . . . . . . 7
2524elpw2 4364 . . . . . 6
2623, 25mpbir 201 . . . . 5
2726a1i 11 . . . 4 TopOn TopOn
28 eqid 2436 . . . 4
2927, 28fmptd 5893 . . 3 TopOn TopOn
30 toponmax 16993 . . . 4 TopOn
3130adantr 452 . . 3 TopOn TopOn
3224pwex 4382 . . . 4
3332a1i 11 . . 3 TopOn TopOn
34 fex2 5603 . . 3
3529, 31, 33, 34syl3anc 1184 . 2 TopOn TopOn
362, 18, 20, 22, 35ovmpt2d 6201 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015   cmpt 4266  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083   cmap 7018  ctop 16958  TopOnctopon 16959   ccnp 17289 This theorem is referenced by:  cnpval  17300  iscnp2  17303  cnambfre  26255 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-top 16963  df-topon 16966  df-cnp 17292
 Copyright terms: Public domain W3C validator