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Theorem cnpfval 16980
Description: The function mapping the points in a topology  J to the set of all functions from  J to topology  K continuous at that point. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpfval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Distinct variable groups:    w, f, x, K    f, X, w, x    f, Y, w, x    v, f, J, w, x
Allowed substitution hints:    K( v)    X( v)    Y( v)

Proof of Theorem cnpfval
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnp 16974 . . 3  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  CnP  =  ( j  e.  Top , 
k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } ) ) )
3 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
j  =  J )
43unieqd 3854 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 16681 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. j  =  X
)
8 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
k  =  K )
98unieqd 3854 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  U. K )
10 toponuni 16681 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
1110ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  Y  =  U. K )
129, 11eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  U. k  =  Y
)
1312, 7oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( U. k  ^m  U. j )  =  ( Y  ^m  X ) )
143rexeqdv 2756 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  ( f
" v )  C_  w )  <->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) )
1514imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <-> 
( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
168, 15raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( A. w  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  j  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) )  <->  A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) ) )
1713, 16rabeqbidv 2796 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) }  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )
187, 17mpteq12dv 4114 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( j  =  J  /\  k  =  K ) )  -> 
( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. w  e.  k  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  j 
( x  e.  v  /\  ( f "
v )  C_  w
) ) } )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
19 topontop 16680 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2019adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  J  e.  Top )
21 topontop 16680 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
2221adantl 452 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  K  e.  Top )
23 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  C_  ( Y  ^m  X )
24 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
2524elpw2 4191 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X )  <->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
2623, 25mpbir 200 . . . . 5  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X )
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  ~P ( Y  ^m  X ) )
28 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )
2927, 28fmptd 5700 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X ) )
30 toponmax 16682 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3130adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  X  e.  J )
3224pwex 4209 . . . 4  |-  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V
3332a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )
34 fex2 5417 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) : X --> ~P ( Y  ^m  X
)  /\  X  e.  J  /\  ~P ( Y  ^m  X )  e. 
_V )  ->  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
3529, 31, 33, 34syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  e. 
_V )
362, 18, 20, 22, 35ovmpt2d 5991 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  cnpval  16982  iscnp2  16985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-top 16652  df-topon 16655  df-cnp 16974
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