MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Unicode version

Theorem cnplimc 19764
Description: A function is continuous at  B iff its limit at  B equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
cnplimc.j  |-  J  =  ( Kt  A )
Assertion
Ref Expression
cnplimc  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )

Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  A )
2 cnplimc.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18807 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  CC )
5 resttopon 17215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  A  C_  CC )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( Kt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
71, 6syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  A )
)
8 cnpf2 17304 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  F : A
--> CC )
983expia 1155 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
107, 3, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  F : A --> CC ) )
1110pm4.71rd 617 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) ) )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A
--> CC )
13 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  A )
1413snssd 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  { B }  C_  A )
15 ssequn2 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1614, 15sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( A  u.  { B }
)  =  A )
1716feq2d 5573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F : ( A  u.  { B } ) --> CC  <->  F : A --> CC ) )
1812, 17mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F :
( A  u.  { B } ) --> CC )
1918feqmptd 5771 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  F  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) ) )
2016oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
2120, 1syl6reqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
2221oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) )
2322fveq1d 5722 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( J  CnP  K ) `
 B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
2419, 23eleq12d 2503 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
25 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
26 ifid 3763 . . . . . . 7  |-  if ( x  =  B , 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x )
27 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2827adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  x  =  B )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2928ifeq1da 3756 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  ->  if ( x  =  B ,  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( x  =  B , 
( F `  B
) ,  ( F `
 x ) ) )
3026, 29syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( F `  x
)  =  if ( x  =  B , 
( F `  B
) ,  ( F `
 x ) ) )
3130mpteq2ia 4283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `  x ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( F `  B ) ,  ( F `  x ) ) )
32 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  CC )
3332, 13sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  B  e.  CC )
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 19750 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( F `
 x ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
3524, 34bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) )
3635pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  (
( F : A --> CC  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  <->  ( F : A
--> CC  /\  ( F `
 B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
3711, 36bitrd 245 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   ↾t crest 13638   TopOpenctopn 13639  ℂfldccnfld 16693  TopOnctopon 16949    CnP ccnp 17279   lim CC climc 19739
This theorem is referenced by:  cnlimc  19765  dvcnp2  19796  dvmulbr  19815  dvcobr  19822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-fz 11034  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cnp 17282  df-xms 18340  df-ms 18341  df-limc 19743
  Copyright terms: Public domain W3C validator