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Theorem cnpnei 16993
Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
cnpnei.1  |-  X  = 
U. J
cnpnei.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnpnei  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y

Proof of Theorem cnpnei
Dummy variables  g 
o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5033 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
2 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
31, 2syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
433ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( `' F "
y )  C_  X
)
54ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
6 neii2 16845 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( {
( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) )
763ad2antl2 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
87ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. g  e.  K  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )
9 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
10 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  g  e.  K
)
11 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
1211snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  A )  e.  g  <->  { ( F `  A ) }  C_  g )
1312biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( F `  A
) }  C_  g  ->  ( F `  A
)  e.  g )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
)  ->  ( F `  A )  e.  g )
1514ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  g )
169, 10, 153jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `
 A ) } 
C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A
)  e.  g ) )
1716adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g ) )
18 cnpimaex 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  g  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )
)
1917, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o )  C_  g ) )
20 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " o ) 
C_  g  ->  (
g  C_  y  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2120com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g 
C_  y  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2221ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
) )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
2322ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  ( F " o ) 
C_  y ) )
24 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
25243ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  ->  Fun  F )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  Fun  F )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  Fun  F )
28 cnpnei.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X  = 
U. J
2928eltopss 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
3029adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  X )
312sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> Y  -> 
( o  C_  dom  F  <-> 
o  C_  X )
)
3231ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  ( o  C_ 
dom  F  <->  o  C_  X
) )
3330, 32mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
34333adantl2 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3534adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
3635adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  o  e.  J
)  ->  o  C_  dom  F )
3736adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  o  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
o )  C_  y  <->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
3927, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  y  <->  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4023, 39sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( F " o
)  C_  g  ->  o 
C_  ( `' F " y ) ) )
4140anim2d 548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  /\  y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  /\  ( F "
o )  C_  g
)  ->  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) ) )
4241reximdva 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  ( E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  ( F " o
)  C_  g )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4319, 42mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  /\  ( g  e.  K  /\  ( { ( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) )
4443exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( g  e.  K  ->  ( ( { ( F `  A ) }  C_  g  /\  g  C_  y
)  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F "
y ) ) ) ) )
4544rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( E. g  e.  K  ( {
( F `  A
) }  C_  g  /\  g  C_  y )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) )
468, 45mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) )
4728isneip 16842 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
48473ad2antl1 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  <->  ( ( `' F " y ) 
C_  X  /\  E. o  e.  J  ( A  e.  o  /\  o  C_  ( `' F " y ) ) ) ) )
505, 46, 49mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
5150exp32 588 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5251ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
53 simpll3 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F : X --> Y )
54 opnneip 16856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
o  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 A ) } ) )
55 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  o  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " o ) )
5655eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  o  ->  (
( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )
5756rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  ( ( nei `  K ) `  {
( F `  A
) } )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
5854, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  o  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  o )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
59583com23 1157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
60593expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( F `  A )  e.  o  /\  o  e.  K
) )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
61603ad2antl2 1118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  ( ( F `
 A )  e.  o  /\  o  e.  K ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
6261adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
63 neii2 16845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) )
6463ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
65643ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( ( `' F " o )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) ) ) )
67 snssg 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
6968ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  ( A  e.  g  <->  { A }  C_  g ) )
7025ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  Fun  F )
7128eltopss 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  g  e.  J )  ->  g  C_  X )
72713ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  X )
732sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X --> Y  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
74733ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  -> 
( g  C_  dom  F  <-> 
g  C_  X )
)
7574biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  C_  X
)  ->  g  C_  dom  F )
7672, 75syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  g  e.  J
)  ->  g  C_  dom  F )
7776adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
7877adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  g  C_ 
dom  F )
79 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  g  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
g )  C_  o  <->  g 
C_  ( `' F " o ) ) )
8070, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( F " g
)  C_  o  <->  g  C_  ( `' F " o ) ) )
8169, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( A  e.  g  /\  ( F "
g )  C_  o
)  <->  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F "
o ) ) ) )
8281biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  /\  g  e.  J )  ->  (
( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8382reximdva 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( E. g  e.  J  ( { A }  C_  g  /\  g  C_  ( `' F " o ) )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8462, 66, 833syld 51 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  (
( F `  A
)  e.  o  /\  o  e.  K )
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) )
8584exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  ( o  e.  K  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
8685com24 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  (
o  e.  K  -> 
( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
8786imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( o  e.  K  ->  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) )
8887ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A. o  e.  K  ( ( F `  A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) )
89 cnpnei.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
9028, 89iscnp2 16969 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
9190baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  (
( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
92913expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
93923adantl3 1113 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g )  C_  o ) ) ) ) )
9493adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. o  e.  K  ( ( F `  A
)  e.  o  ->  E. g  e.  J  ( A  e.  g  /\  ( F " g
)  C_  o )
) ) ) )
9553, 88, 94mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X )  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
9695ex 423 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F "
y )  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
9752, 96impbid 183 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : X --> Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  A ) } ) ( `' F " y )  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   neicnei 16834    CnP ccnp 16955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-nei 16835  df-cnp 16958
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