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Theorem cnprest2 17356
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 17308 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32cnprcl 17311 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
41, 3jca 520 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
6 cnptop1 17308 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  J  e.  Top )
72cnprcl 17311 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  P  e.  X
)
86, 7jca 520 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X ) )
98a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
10 simpl2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> B )
11 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
1210, 11ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
1312biantrud 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( ( F `
 P )  e.  x  /\  ( F `
 P )  e.  B ) ) )
14 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i 
B )  <->  ( ( F `  P )  e.  x  /\  ( F `  P )  e.  B ) )
1513, 14syl6bbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
16 imassrn 5218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
17 frn 5599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> B  ->  ran  F  C_  B )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ran  F  C_  B )
1916, 18syl5ss 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F " y )  C_  B
)
2019biantrud 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( ( F "
y )  C_  x  /\  ( F " y
)  C_  B )
) )
21 ssin 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " y
)  C_  x  /\  ( F " y ) 
C_  B )  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
)
2220, 21syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) )
2322anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2423rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2515, 24imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
2625ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
27 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4346 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( x  i^i  B
)  e.  _V )
30 simpl1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  Top )
31 cnprest.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. K
32 uniexg 4708 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3331, 32syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  Y  e.  _V )
3430, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  Y  e.  _V )
35 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  C_  Y
)
3634, 35ssexd 4352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  e.  _V )
37 elrest 13657 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
3830, 36, 37syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
39 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F `  P
)  e.  z  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
40 sseq2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F " y
)  C_  z  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
) )
4140anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( P  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  z
)  <->  ( P  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
4241rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) ) )
4339, 42imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4443adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4529, 38, 44ralxfr2d 4741 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4626, 45bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
47 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  Top )
482, 31iscnp2 17305 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
4948baib 873 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
5047, 30, 11, 49syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
51 fss 5601 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> B  /\  B  C_  Y )  ->  F : X --> Y )
5210, 35, 51syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> Y )
5352biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
5450, 53bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) )
552toptopon 17000 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5647, 55sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5731toptopon 17000 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5830, 57sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
59 resttopon 17227 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
6058, 35, 59syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
61 iscnp 17303 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <-> 
( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6256, 60, 11, 61syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6310biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6462, 63bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
6546, 54, 643bitr4d 278 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) ) )
6665ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) ) )
675, 9, 66pm5.21ndd 345 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   ran crn 4881   "cima 4883   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    CnP ccnp 17291
This theorem is referenced by:  limccnp  19780  limccnp2  19781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cnp 17294
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