Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Unicode version

Theorem cnprest2 17018
 Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1
cnprest.2
Assertion
Ref Expression
cnprest2 t

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 16972 . . . 4
2 cnprest.1 . . . . 5
32cnprcl 16975 . . . 4
41, 3jca 518 . . 3
54a1i 10 . 2
6 cnptop1 16972 . . . 4 t
72cnprcl 16975 . . . 4 t
86, 7jca 518 . . 3 t
98a1i 10 . 2 t
10 simpl2 959 . . . . . . . . . 10
11 simprr 733 . . . . . . . . . 10
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . 9
1413biantrud 493 . . . . . . . 8
15 elin 3358 . . . . . . . 8
1614, 15syl6bbr 254 . . . . . . 7
17 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . 12
18 frn 5395 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12
2017, 19syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11
2120biantrud 493 . . . . . . . . . 10
22 ssin 3391 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl6bb 252 . . . . . . . . 9
2423anbi2d 684 . . . . . . . 8
2524rexbidv 2564 . . . . . . 7
2616, 25imbi12d 311 . . . . . 6
2726ralbidv 2563 . . . . 5
28 vex 2791 . . . . . . . 8
2928inex1 4155 . . . . . . 7
3029a1i 10 . . . . . 6
31 simpl1 958 . . . . . . 7
32 simpl3 960 . . . . . . . 8
33 cnprest.2 . . . . . . . . . 10
34 uniexg 4517 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9
3631, 35syl 15 . . . . . . . 8
37 ssexg 4160 . . . . . . . 8
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . 7
39 elrest 13332 . . . . . . 7 t
4031, 38, 39syl2anc 642 . . . . . 6 t
41 eleq2 2344 . . . . . . . 8
42 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10
4342anbi2d 684 . . . . . . . . 9
4443rexbidv 2564 . . . . . . . 8
4541, 44imbi12d 311 . . . . . . 7
4645adantl 452 . . . . . 6
4730, 40, 46ralxfr2d 4550 . . . . 5 t
4827, 47bitr4d 247 . . . 4 t
49 simprl 732 . . . . . 6
502, 33iscnp2 16969 . . . . . . 7
5150baib 871 . . . . . 6
5249, 31, 11, 51syl3anc 1182 . . . . 5
53 fss 5397 . . . . . . 7
5410, 32, 53syl2anc 642 . . . . . 6
5554biantrurd 494 . . . . 5
5652, 55bitr4d 247 . . . 4
572toptopon 16671 . . . . . . 7 TopOn
5849, 57sylib 188 . . . . . 6 TopOn
5933toptopon 16671 . . . . . . . 8 TopOn
6031, 59sylib 188 . . . . . . 7 TopOn
61 resttopon 16892 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
6260, 32, 61syl2anc 642 . . . . . 6 t TopOn
63 iscnp 16967 . . . . . 6 TopOn t TopOn t t
6458, 62, 11, 63syl3anc 1182 . . . . 5 t t
6510biantrurd 494 . . . . 5 t t
6664, 65bitr4d 247 . . . 4 t t
6748, 56, 663bitr4d 276 . . 3 t
6867ex 423 . 2 t
695, 9, 68pm5.21ndd 343 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  cuni 3827   crn 4690  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccnp 16955 This theorem is referenced by:  limccnp  19241  limccnp2  19242 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
 Copyright terms: Public domain W3C validator