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Theorem cnprest2 17034
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 16988 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32cnprcl 16991 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
41, 3jca 518 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
54a1i 10 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
6 cnptop1 16988 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  J  e.  Top )
72cnprcl 16991 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  P  e.  X
)
86, 7jca 518 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X ) )
98a1i 10 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
10 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> B )
11 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> B  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  B )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
1413biantrud 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( ( F `
 P )  e.  x  /\  ( F `
 P )  e.  B ) ) )
15 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i 
B )  <->  ( ( F `  P )  e.  x  /\  ( F `  P )  e.  B ) )
1614, 15syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
17 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
18 frn 5411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> B  ->  ran  F  C_  B )
1910, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ran  F  C_  B )
2017, 19syl5ss 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F " y )  C_  B
)
2120biantrud 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( ( F "
y )  C_  x  /\  ( F " y
)  C_  B )
) )
22 ssin 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " y
)  C_  x  /\  ( F " y ) 
C_  B )  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
)
2321, 22syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) )
2423anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2524rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2616, 25imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
2726ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
28 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
2928inex1 4171 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( x  i^i  B
)  e.  _V )
31 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  Top )
32 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  C_  Y
)
33 cnprest.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. K
34 uniexg 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3533, 34syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  Y  e.  _V )
3631, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  Y  e.  _V )
37 ssexg 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  Y  /\  Y  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  e.  _V )
39 elrest 13348 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
4031, 38, 39syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
41 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F `  P
)  e.  z  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
42 sseq2 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F " y
)  C_  z  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
) )
4342anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( P  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  z
)  <->  ( P  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
4443rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) ) )
4541, 44imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4645adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4730, 40, 46ralxfr2d 4566 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4827, 47bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
49 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  Top )
502, 33iscnp2 16985 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
5150baib 871 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
5249, 31, 11, 51syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
53 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> B  /\  B  C_  Y )  ->  F : X --> Y )
5410, 32, 53syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> Y )
5554biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
5652, 55bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) )
572toptopon 16687 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5849, 57sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5933toptopon 16687 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6031, 59sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
61 resttopon 16908 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
6260, 32, 61syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
63 iscnp 16983 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <-> 
( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6458, 62, 11, 63syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6510biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6664, 65bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
6748, 56, 663bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) ) )
6867ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) ) )
695, 9, 68pm5.21ndd 343 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ran crn 4706   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  limccnp  19257  limccnp2  19258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974
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