Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpresti Structured version   Unicode version

Theorem cnpresti 17357
 Description: One direction of cnprest 17358 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnprest.1
Assertion
Ref Expression
cnpresti t

Proof of Theorem cnpresti
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . 5
2 eqid 2438 . . . . 5
31, 2cnpf 17316 . . . 4
5 simp1 958 . . 3
6 fssres 5613 . . 3
74, 5, 6syl2anc 644 . 2
8 simpl2 962 . . . . . 6
9 fvres 5748 . . . . . 6
108, 9syl 16 . . . . 5
1110eleq1d 2504 . . . 4
12 cnpimaex 17325 . . . . . . 7
13123expia 1156 . . . . . 6
14133ad2antl3 1122 . . . . 5
15 idd 23 . . . . . . . . . . 11
16 simp2 959 . . . . . . . . . . 11
1715, 16jctird 530 . . . . . . . . . 10
18 elin 3532 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6ibr 220 . . . . . . . . 9
20 inss1 3563 . . . . . . . . . . . 12
21 imass2 5243 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
23 id 21 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl5ss 3361 . . . . . . . . . 10
2524a1i 11 . . . . . . . . 9
2619, 25anim12d 548 . . . . . . . 8
2726reximdv 2819 . . . . . . 7
28 vex 2961 . . . . . . . . . 10
2928inex1 4347 . . . . . . . . 9
3029a1i 11 . . . . . . . 8
31 cnptop1 17311 . . . . . . . . . 10
32313ad2ant3 981 . . . . . . . . 9
33 uniexg 4709 . . . . . . . . . . 11
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
355, 1syl6sseq 3396 . . . . . . . . . 10
3634, 35ssexd 4353 . . . . . . . . 9
37 elrest 13660 . . . . . . . . 9 t
3832, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8 t
39 simpr 449 . . . . . . . . . 10
4039eleq2d 2505 . . . . . . . . 9
4139imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . 11
42 inss2 3564 . . . . . . . . . . . 12
43 resima2 5182 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4541, 44syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
4645sseq1d 3377 . . . . . . . . 9
4740, 46anbi12d 693 . . . . . . . 8
4830, 38, 47rexxfr2d 4743 . . . . . . 7 t
4927, 48sylibrd 227 . . . . . 6 t
5049adantr 453 . . . . 5 t
5114, 50syld 43 . . . 4 t
5211, 51sylbid 208 . . 3 t
5352ralrimiva 2791 . 2 t
541toptopon 17003 . . . . 5 TopOn
5532, 54sylib 190 . . . 4 TopOn
56 resttopon 17230 . . . 4 TopOn t TopOn
5755, 5, 56syl2anc 644 . . 3 t TopOn
58 cnptop2 17312 . . . . 5
59583ad2ant3 981 . . . 4
602toptopon 17003 . . . 4 TopOn
6159, 60sylib 190 . . 3 TopOn
62 iscnp 17306 . . 3 t TopOn TopOn t t
6357, 61, 16, 62syl3anc 1185 . 2 t t
647, 53, 63mpbir2and 890 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cuni 4017   cres 4883  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccnp 17294 This theorem is referenced by:  efrlim  20813  cvmlift2lem11  25005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cnp 17297
 Copyright terms: Public domain W3C validator