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Theorem cnpresti 17016
Description: One direction of cnprest 17017 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cnpresti  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)

Proof of Theorem cnpresti
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 16977 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> U. K )
433ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X --> U. K
)
5 simp1 955 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  X )
6 fssres 5408 . . 3  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  A  C_  X )  ->  ( F  |`  A ) : A --> U. K )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A ) : A --> U. K
)
8 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  P  e.  A )
9 fvres 5542 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
1110eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
12 cnpimaex 16986 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
13123expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
14133ad2antl3 1119 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
15 idd 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  x ) )
16 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  A )
1715, 16jctird 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A
) ) )
18 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
1917, 18syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
20 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
21 imass2 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x )
23 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " x )  C_  y )
2422, 23syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
2524a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
2619, 25anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
2726reximdv 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
28 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2928inex1 4155 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
3029a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
31 cnptop1 16972 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
32313ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
335, 1syl6sseq 3224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  U. J )
34 uniexg 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e.  _V )
36 ssexg 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
3733, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  e.  _V )
38 elrest 13332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
40 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
4140eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  A )
) )
4240imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
43 inss2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
44 resima2 4988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
4642, 45syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
4746sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
4841, 47anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
4930, 39, 48rexxfr2d 4551 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
5027, 49sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5214, 51syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5311, 52sylbid 206 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5453ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
551toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5632, 55sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
57 resttopon 16892 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5856, 5, 57syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
59 cnptop2 16973 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
60593ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
612toptopon 16671 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6260, 61sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
63 iscnp 16967 . . 3  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
6458, 62, 16, 63syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
657, 54, 64mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  efrlim  20264  cvmlift2lem11  23844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
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