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Theorem cnpresti 17344
Description: One direction of cnprest 17345 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cnpresti  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)

Proof of Theorem cnpresti
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnpf 17303 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  F : X --> U. K )
433ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X --> U. K
)
5 simp1 957 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  X )
6 fssres 5602 . . 3  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  A  C_  X )  ->  ( F  |`  A ) : A --> U. K )
74, 5, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A ) : A --> U. K
)
8 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  P  e.  A )
9 fvres 5737 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
1110eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
12 cnpimaex 17312 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)
13123expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  y  e.  K )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
14133ad2antl3 1121 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
15 idd 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  x ) )
16 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  A )
1715, 16jctird 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A
) ) )
18 elin 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
1917, 18syl6ibr 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
20 inss1 3553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
21 imass2 5232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x )
23 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " x )  C_  y )
2422, 23syl5ss 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F "
x )  C_  y  ->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
2619, 25anim12d 547 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
2726reximdv 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
28 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2928inex1 4336 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
31 cnptop1 17298 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
32313ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
33 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e.  _V )
355, 1syl6sseq 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  C_  U. J )
3634, 35ssexd 4342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A  e.  _V )
37 elrest 13647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
3832, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  z  =  ( x  i^i  A ) )
4039eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  A )
) )
4139imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( ( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) ) )
42 inss2 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
43 resima2 5171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
4541, 44syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F  |`  A ) "
z )  =  ( F " ( x  i^i  A ) ) )
4645sseq1d 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( F  |`  A )
" z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
4740, 46anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  z  =  ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
4830, 38, 47rexxfr2d 4732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
4927, 48sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5049adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5114, 50syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5211, 51sylbid 207 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
5352ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
541toptopon 16990 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5532, 54sylib 189 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
56 resttopon 17217 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5755, 5, 56syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
58 cnptop2 17299 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
59583ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
602toptopon 16990 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6159, 60sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
62 iscnp 17293 . . 3  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
6357, 61, 16, 62syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
647, 53, 63mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007    |` cres 4872   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    CnP ccnp 17281
This theorem is referenced by:  efrlim  20800  cvmlift2lem11  24992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cnp 17284
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