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Theorem cnpval 16982
Description: The set of all functions from topology  J to topology  K that are continuous at a point  P. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, J    f, K, x, y    f, X, x, y    P, f, x, y   
f, Y, x, y

Proof of Theorem cnpval
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpfval 16980 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
21fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  ( ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
) )
3 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
f `  v )  =  ( f `  P ) )
43eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  (
( f `  v
)  e.  y  <->  ( f `  P )  e.  y ) )
5 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  P  ->  (
v  e.  x  <->  P  e.  x ) )
65anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  P  ->  (
( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
76rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( v  =  P  ->  ( E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) )
84, 7imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( v  =  P  ->  (
( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) ) )
98ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( v  =  P  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) ) )
109rabbidv 2793 . . . 4  |-  ( v  =  P  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  v
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )  =  ( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
12 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
1312rabex 4181 . . . 4  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) }  e.  _V
1410, 11, 13fvmpt 5618 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  (
( v  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 v )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( v  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } ) `  P
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
152, 14sylan9eq 2348 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( J  CnP  K
) `  P )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) } )
16153impa 1146 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  iscnp  16983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-top 16652  df-topon 16655  df-cnp 16974
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