Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnref1o Unicode version

Theorem cnref1o 10349
 Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 8743), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnref1o.1 . . . . 5
2 ovex 5883 . . . . 5
31, 2fnmpt2i 6193 . . . 4
4 1st2nd2 6159 . . . . . . . . 9
54fveq2d 5529 . . . . . . . 8
6 df-ov 5861 . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2333 . . . . . . 7
8 xp1st 6149 . . . . . . . 8
9 xp2nd 6150 . . . . . . . 8
10 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
11 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
13 ovex 5883 . . . . . . . . 9
1410, 12, 1, 13ovmpt2 5983 . . . . . . . 8
158, 9, 14syl2anc 642 . . . . . . 7
167, 15eqtrd 2315 . . . . . 6
178recnd 8861 . . . . . . 7
18 ax-icn 8796 . . . . . . . 8
199recnd 8861 . . . . . . . 8
20 mulcl 8821 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancr 644 . . . . . . 7
2217, 21addcld 8854 . . . . . 6
2316, 22eqeltrd 2357 . . . . 5
2423rgen 2608 . . . 4
25 ffnfv 5685 . . . 4
263, 24, 25mpbir2an 886 . . 3
278, 9jca 518 . . . . . . 7
28 xp1st 6149 . . . . . . . 8
29 xp2nd 6150 . . . . . . . 8
3028, 29jca 518 . . . . . . 7
31 cru 9738 . . . . . . 7
3227, 30, 31syl2an 463 . . . . . 6
33 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
34 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
3635oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
3734, 36oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
3833, 37eqeq12d 2297 . . . . . . . 8
3938, 16vtoclga 2849 . . . . . . 7
4016, 39eqeqan12d 2298 . . . . . 6
41 1st2nd2 6159 . . . . . . . 8
424, 41eqeqan12d 2298 . . . . . . 7
43 fvex 5539 . . . . . . . 8
44 fvex 5539 . . . . . . . 8
4543, 44opth 4245 . . . . . . 7
4642, 45syl6bb 252 . . . . . 6
4732, 40, 463bitr4d 276 . . . . 5
4847biimpd 198 . . . 4
4948rgen2a 2609 . . 3
50 dff13 5783 . . 3
5126, 49, 50mpbir2an 886 . 2
52 cnre 8834 . . . . . 6
53 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
54 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
56 ovex 5883 . . . . . . . . 9
5753, 55, 1, 56ovmpt2 5983 . . . . . . . 8
5857eqeq2d 2294 . . . . . . 7
59582rexbiia 2577 . . . . . 6
6052, 59sylibr 203 . . . . 5
61 fveq2 5525 . . . . . . . 8
62 df-ov 5861 . . . . . . . 8
6361, 62syl6eqr 2333 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2294 . . . . . 6
6564rexxp 4828 . . . . 5
6660, 65sylibr 203 . . . 4
6766rgen 2608 . . 3
68 dffo3 5675 . . 3
6926, 67, 68mpbir2an 886 . 2
70 df-f1o 5262 . 2
7151, 69, 70mpbir2an 886 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cop 3643   cxp 4687   wfn 5250  wf 5251  wf1 5252  wfo 5253  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cc 8735  cr 8736  ci 8739   caddc 8740   cmul 8742 This theorem is referenced by:  cnexALT  10350  cnrecnv  11650  cpnnen  12507  cnheiborlem  18452  mbfimaopnlem  19010 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
 Copyright terms: Public domain W3C validator