Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnresima Structured version   Unicode version

Theorem cnresima 26474
Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnresima  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) )

Proof of Theorem cnresima
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2437 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
43toptopon 16999 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
52, 4sylib 190 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6 ssid 3368 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
ran  F
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F 
C_  ran  F )
8 eqid 2437 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
98, 3cnf 17311 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
10 frn 5598 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ran  F 
C_  U. K )
12113ad2ant3 981 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F 
C_  U. K )
13 cnrest2 17351 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  F 
C_  ran  F  /\  ran  F  C_  U. K )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F
) ) ) )
145, 7, 12, 13syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) ) )
151, 14mpbid 203 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    e. wcel 1726    C_ wss 3321   U.cuni 4016   ran crn 4880   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   ↾t crest 13649   Topctop 16959  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cn 17292
  Copyright terms: Public domain W3C validator