Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnresima Unicode version

Theorem cnresima 26587
Description: A continuous function is continuous onto its image. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnresima  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) )

Proof of Theorem cnresima
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
43toptopon 16687 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
52, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
6 ssid 3210 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
ran  F
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F 
C_  ran  F )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
98, 3cnf 16992 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
10 frn 5411 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ran  F 
C_  U. K )
12113ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ran  F 
C_  U. K )
13 cnrest2 17030 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  F 
C_  ran  F  /\  ran  F  C_  U. K )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F
) ) ) )
145, 7, 12, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) ) )
151, 14mpbid 201 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  ran  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator