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Theorem cnrest2 17355
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 17309 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top ) )
3 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 17315 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
6 ffn 5594 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J ) )
9 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ran  F 
C_  B )
108, 9jctird 530 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  C_  B )
) )
11 df-f 5461 . . . 4  |-  ( F : U. J --> B  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F 
C_  B ) )
1210, 11syl6ibr 220 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> B ) )
132, 12jcad 521 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
14 cntop1 17309 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1514adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
163toptopon 17003 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1715, 16sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 resttopon 17230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
19183adant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
2019adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B
) )
21 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
22 cnf2 17318 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2415, 23jca 520 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )
2524ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
26 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2726inex1 4347 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
29 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
30 toponmax 16998 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  Y  e.  K )
32 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  C_  Y
)
3331, 32ssexd 4353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  e.  _V )
34 elrest 13660 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
3529, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
36 imaeq2 5202 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( x  i^i  B
) ) )
3736eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
3837adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  y  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  e.  J ) )
3928, 35, 38ralxfr2d 4742 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
40 simplrr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  F : U. J --> B )
41 ffun 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> B  ->  Fun  F )
42 inpreima 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
4340, 41, 423syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
44 cnvimass 5227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
45 cnvimarndm 5228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
4644, 45sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " ran  F )
47 simpll2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ran  F  C_  B )
48 imass2 5243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( `' F " ran  F
)  C_  ( `' F " B ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ran  F ) 
C_  ( `' F " B ) )
5046, 49syl5ss 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " B ) )
51 df-ss 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " B )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5250, 51sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5343, 52eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5453eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
5554ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
56 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> B )
57 fss 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. J --> B  /\  B  C_  Y
)  ->  F : U. J --> Y )
5856, 32, 57syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> Y )
5958biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6039, 55, 593bitrrd 273 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) )
6156biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) ) )
6260, 61bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
63 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  Top )
6463, 16sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
65 iscn 17304 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6664, 29, 65syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6719adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
68 iscn 17304 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6964, 67, 68syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
7062, 66, 693bitr4d 278 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
7170ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  (
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) ) )
7213, 25, 71pm5.21ndd 345 1  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293
This theorem is referenced by:  cnrest2r  17356  rncmp  17464  conima  17493  concn  17494  kgencn2  17594  kgencn3  17595  qtoprest  17754  hmeores  17808  symgtgp  18136  submtmd  18139  subgtgp  18140  metdcn2  18875  metdscn2  18892  cnmptre  18957  iimulcn  18968  icchmeo  18971  evth  18989  evth2  18990  lebnumlem2  18992  reparphti  19027  efrlim  20813  rmulccn  24319  raddcn  24320  xrge0mulc1cn  24332  cvxpcon  24934  cvxscon  24935  cvmliftmolem1  24973  cvmliftlem8  24984  cvmlift2lem9  25003  cvmlift3lem6  25016  areacirclem2  26307  ivthALT  26352  cnres2  26486  cnresima  26487  refsumcn  27691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296
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