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Theorem cnrest2 17304
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 17258 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top ) )
3 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 17264 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
6 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J ) )
9 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ran  F 
C_  B )
108, 9jctird 529 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  C_  B )
) )
11 df-f 5417 . . . 4  |-  ( F : U. J --> B  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F 
C_  B ) )
1210, 11syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> B ) )
132, 12jcad 520 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
14 cntop1 17258 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
163toptopon 16953 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1715, 16sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
19183adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B
) )
21 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
22 cnf2 17267 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2415, 23jca 519 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )
2524ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
26 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2726inex1 4304 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
29 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
30 toponmax 16948 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  Y  e.  K )
32 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  C_  Y
)
3331, 32ssexd 4310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  e.  _V )
34 elrest 13610 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
3529, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
36 imaeq2 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( x  i^i  B
) ) )
3736eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
3837adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  y  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  e.  J ) )
3928, 35, 38ralxfr2d 4698 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
40 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  F : U. J --> B )
41 ffun 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> B  ->  Fun  F )
42 inpreima 5816 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
4340, 41, 423syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
44 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
45 cnvimarndm 5184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
4644, 45sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " ran  F )
47 simpll2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ran  F  C_  B )
48 imass2 5199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( `' F " ran  F
)  C_  ( `' F " B ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ran  F ) 
C_  ( `' F " B ) )
5046, 49syl5ss 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " B ) )
51 df-ss 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " B )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5343, 52eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5453eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
5554ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
56 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> B )
57 fss 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. J --> B  /\  B  C_  Y
)  ->  F : U. J --> Y )
5856, 32, 57syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> Y )
5958biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6039, 55, 593bitrrd 272 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) )
6156biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) ) )
6260, 61bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
63 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  Top )
6463, 16sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
65 iscn 17253 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6664, 29, 65syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6719adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
68 iscn 17253 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6964, 67, 68syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
7062, 66, 693bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
7170ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  (
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) ) )
7213, 25, 71pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242
This theorem is referenced by:  cnrest2r  17305  rncmp  17413  conima  17441  concn  17442  kgencn2  17542  kgencn3  17543  qtoprest  17702  hmeores  17756  symgtgp  18084  submtmd  18087  subgtgp  18088  metdcn2  18823  metdscn2  18840  cnmptre  18905  iimulcn  18916  icchmeo  18919  evth  18937  evth2  18938  lebnumlem2  18940  reparphti  18975  efrlim  20761  rmulccn  24267  raddcn  24268  xrge0mulc1cn  24280  cvxpcon  24882  cvxscon  24883  cvmliftmolem1  24921  cvmliftlem8  24932  cvmlift2lem9  24951  cvmlift3lem6  24964  areacirclem4  26183  ivthALT  26228  cnres2  26362  cnresima  26363  refsumcn  27568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245
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