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Theorem cnrest2r 17351
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
2 cntop2 17305 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
32adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
4 restrcl 17221 . . . . . . 7  |-  ( ( Kt  B )  e.  Top  ->  ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
5 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
65restin 17230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
73, 4, 63syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
87oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  =  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
91, 8eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
10 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  Top )
115toptopon 16998 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1210, 11sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 cntop1 17304 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
15 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1615toptopon 16998 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1714, 16sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3562 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K
19 resttopon 17225 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) ) )
2012, 18, 19sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K
) ) )
21 cnf2 17313 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) )  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) )  ->  f : U. J --> ( B  i^i  U. K ) )
2217, 20, 9, 21syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f : U. J
--> ( B  i^i  U. K ) )
23 frn 5597 . . . . . 6  |-  ( f : U. J --> ( B  i^i  U. K )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2518a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( B  i^i  U. K )  C_  U. K
)
26 cnrest2 17350 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( f  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) ) )
2712, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  <->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) ) )
289, 27mpbird 224 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2928ex 424 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  (
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
3029ssrdv 3354 1  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   Topctop 16958  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288
This theorem is referenced by:  invrcn  18210  metdcn  18871  metdscn2  18887  icchmeo  18966  cnrehmeo  18978  evth  18984  reparphti  19022  nmcnc  22192  conpcon  24922  cvxscon  24930  cvmliftlem8  24979  cvmlift2lem9a  24990  cvmlift3lem6  25011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291
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