Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Unicode version

Theorem cnsrexpcl 27328
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
cnsrexpcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
cnsrexpcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
2 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ 0 ) )
32eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ 0 )  e.  S ) )
43imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S ) ) )
5 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ b
) )
65eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ b )  e.  S ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ b
)  e.  S ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ (
b  +  1 ) ) )
98eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
11 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( a  =  Y  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ Y
) )
1211eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( a  =  Y  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ Y )  e.  S
) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) ) )
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cnfldbas 16699 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1615subrgss 15861 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  S  C_  CC )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
1917, 18sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2019exp0d 11509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
21 cnfld1 16718 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2221subrg1cl 15868 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  e.  S )
2314, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
2420, 23eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S )
25193ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  CC )
26 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  b  e.  NN0 )
2725, 26expp1d 11516 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( X ^
b )  x.  X
) )
28143ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
29 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ b )  e.  S )
30183ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  S )
31 cnfldmul 16701 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3231subrgmcl 15872 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubRing ` fld )  /\  ( X ^ b )  e.  S  /\  X  e.  S )  ->  (
( X ^ b
)  x.  X )  e.  S )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ( X ^ b )  x.  X )  e.  S
)
3427, 33eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S )
35343exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( X ^
b )  e.  S  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
3635a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 10358 . 2  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) )
381, 37mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NN0cn0 10213   ^cexp 11374  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  27330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator