Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Unicode version

Theorem cnsrexpcl 27039
 Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s SubRingfld
cnsrexpcl.x
cnsrexpcl.y
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2
2 oveq2 6028 . . . . 5
32eleq1d 2453 . . . 4
43imbi2d 308 . . 3
5 oveq2 6028 . . . . 5
65eleq1d 2453 . . . 4
76imbi2d 308 . . 3
8 oveq2 6028 . . . . 5
98eleq1d 2453 . . . 4
109imbi2d 308 . . 3
11 oveq2 6028 . . . . 5
1211eleq1d 2453 . . . 4
1312imbi2d 308 . . 3
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 SubRingfld
15 cnfldbas 16630 . . . . . . . 8 fld
1615subrgss 15796 . . . . . . 7 SubRingfld
1714, 16syl 16 . . . . . 6
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6
1917, 18sseldd 3292 . . . . 5
2019exp0d 11444 . . . 4
21 cnfld1 16649 . . . . . 6 fld
2221subrg1cl 15803 . . . . 5 SubRingfld
2314, 22syl 16 . . . 4
2420, 23eqeltrd 2461 . . 3
25193ad2ant2 979 . . . . . . 7
26 simp1 957 . . . . . . 7
2725, 26expp1d 11451 . . . . . 6
28143ad2ant2 979 . . . . . . 7 SubRingfld
29 simp3 959 . . . . . . 7
30183ad2ant2 979 . . . . . . 7
31 cnfldmul 16632 . . . . . . . 8 fld
3231subrgmcl 15807 . . . . . . 7 SubRingfld
3328, 29, 30, 32syl3anc 1184 . . . . . 6
3427, 33eqeltrd 2461 . . . . 5
35343exp 1152 . . . 4
3635a2d 24 . . 3
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 10298 . 2
381, 37mpcom 34 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717   wss 3263  cfv 5394  (class class class)co 6020  cc 8921  cc0 8923  c1 8924   caddc 8926   cmul 8928  cn0 10153  cexp 11309  SubRingcsubrg 15791  ℂfldccnfld 16626 This theorem is referenced by:  cnsrplycl  27041 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-subg 14868  df-cmn 15341  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-cnfld 16627
 Copyright terms: Public domain W3C validator