Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Unicode version

Theorem cnsrexpcl 27039
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
cnsrexpcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
cnsrexpcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
2 oveq2 6028 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ 0 ) )
32eleq1d 2453 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ 0 )  e.  S ) )
43imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S ) ) )
5 oveq2 6028 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ b
) )
65eleq1d 2453 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ b )  e.  S ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ b
)  e.  S ) ) )
8 oveq2 6028 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ (
b  +  1 ) ) )
98eleq1d 2453 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
11 oveq2 6028 . . . . 5  |-  ( a  =  Y  ->  ( X ^ a )  =  ( X ^ Y
) )
1211eleq1d 2453 . . . 4  |-  ( a  =  Y  ->  (
( X ^ a
)  e.  S  <->  ( X ^ Y )  e.  S
) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( X ^ a )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) ) )
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cnfldbas 16630 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1615subrgss 15796 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  S  C_  CC )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
1917, 18sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2019exp0d 11444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
21 cnfld1 16649 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2221subrg1cl 15803 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  e.  S )
2314, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
2420, 23eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ 0 )  e.  S )
25193ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  CC )
26 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  b  e.  NN0 )
2725, 26expp1d 11451 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( X ^
b )  x.  X
) )
28143ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  S  e.  (SubRing ` fld ) )
29 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ b )  e.  S )
30183ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  X  e.  S )
31 cnfldmul 16632 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3231subrgmcl 15807 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubRing ` fld )  /\  ( X ^ b )  e.  S  /\  X  e.  S )  ->  (
( X ^ b
)  x.  X )  e.  S )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ( X ^ b )  x.  X )  e.  S
)
3427, 33eqeltrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( X ^ ( b  +  1 ) )  e.  S )
35343exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( X ^
b )  e.  S  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
3635a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( X ^
b )  e.  S
)  ->  ( ph  ->  ( X ^ (
b  +  1 ) )  e.  S ) ) )
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 10298 . 2  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S ) )
381, 37mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( X ^ Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928   NN0cn0 10153   ^cexp 11309  SubRingcsubrg 15791  ℂfldccnfld 16626
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  27041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-subg 14868  df-cmn 15341  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-cnfld 16627
  Copyright terms: Public domain W3C validator