Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Unicode version

Theorem cnsrplycl 27372
 Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s SubRingfld
cnsrplycl.p Poly
cnsrplycl.x
cnsrplycl.c
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 SubRingfld
3 cnfldbas 16383 . . . . . . 7 fld
43subrgss 15546 . . . . . 6 SubRingfld
52, 4syl 15 . . . . 5
6 plyss 19581 . . . . 5 Poly Poly
71, 5, 6syl2anc 642 . . . 4 Poly Poly
8 cnsrplycl.p . . . 4 Poly
97, 8sseldd 3181 . . 3 Poly
10 cnsrplycl.x . . . 4
115, 10sseldd 3181 . . 3
12 eqid 2283 . . . 4 coeff coeff
13 eqid 2283 . . . 4 deg deg
1412, 13coeid2 19621 . . 3 Poly degcoeff
159, 11, 14syl2anc 642 . 2 degcoeff
16 fzfid 11035 . . 3 deg
172adantr 451 . . . 4 deg SubRingfld
18 subrgsubg 15551 . . . . . . . 8 SubRingfld SubGrpfld
19 cnfld0 16398 . . . . . . . . 9 fld
2019subg0cl 14629 . . . . . . . 8 SubGrpfld
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7
2212coef2 19613 . . . . . . 7 Poly coeff
239, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6 coeff
2423adantr 451 . . . . 5 deg coeff
25 elfznn0 10822 . . . . . 6 deg
2625adantl 452 . . . . 5 deg
27 ffvelrn 5663 . . . . 5 coeff coeff
2824, 26, 27syl2anc 642 . . . 4 deg coeff
2910adantr 451 . . . . 5 deg
3017, 29, 26cnsrexpcl 27370 . . . 4 deg
31 cnfldmul 16385 . . . . 5 fld
3231subrgmcl 15557 . . . 4 SubRingfld coeff coeff
3317, 28, 30, 32syl3anc 1182 . . 3 deg coeff
342, 16, 33fsumcnsrcl 27371 . 2 degcoeff
3515, 34eqeltrd 2357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wss 3152  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cc0 8737   cmul 8742  cn0 9965  cfz 10782  cexp 11104  csu 12158  SubGrpcsubg 14615  SubRingcsubrg 15541  ℂfldccnfld 16377  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569 This theorem is referenced by:  rngunsnply  27378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-cnfld 16378  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
 Copyright terms: Public domain W3C validator