Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnss2 Unicode version

Theorem cnss2 17006
 Description: If the topology is finer than , then there are fewer continuous functions into than into from some other space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnss2.1
Assertion
Ref Expression
cnss2 TopOn

Proof of Theorem cnss2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6
2 cnss2.1 . . . . . 6
31, 2cnf 16976 . . . . 5
43adantl 452 . . . 4 TopOn
5 simplr 731 . . . . 5 TopOn
6 cnima 16994 . . . . . . 7
76ralrimiva 2626 . . . . . 6
87adantl 452 . . . . 5 TopOn
9 ssralv 3237 . . . . 5
105, 8, 9sylc 56 . . . 4 TopOn
11 cntop1 16970 . . . . . . 7
1211adantl 452 . . . . . 6 TopOn
131toptopon 16671 . . . . . 6 TopOn
1412, 13sylib 188 . . . . 5 TopOn TopOn
15 simpll 730 . . . . 5 TopOn TopOn
16 iscn 16965 . . . . 5 TopOn TopOn
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . 4 TopOn
184, 10, 17mpbir2and 888 . . 3 TopOn
1918ex 423 . 2 TopOn
2019ssrdv 3185 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543   wss 3152  cuni 3827  ccnv 4688  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccn 16954 This theorem is referenced by:  kgencn3  17253  xmetdcn  18343  cnrscoa  25526 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
 Copyright terms: Public domain W3C validator