MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 16739
Description: Lemma for resubdrg 16740 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubrglem.4  |-  1  e.  A
cnsubrglem.5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
cnsubrglem.6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
3 cnsubglem.3 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
4 cnsubrglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
5 cnsubrglem.5 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 16738 . 2  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
7 cndrng 16720 . . . 4  |-fld  e.  DivRing
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  (flds  A )  =  (flds  A )
9 cnfld0 16715 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` fld )
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
118, 9, 10issubdrg 15883 . . . 4  |-  ( (fld  e.  DivRing 
/\  A  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(flds  A
)  e.  DivRing  <->  A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A ) )
127, 6, 11mp2an 654 . . 3  |-  ( (flds  A )  e.  DivRing 
<-> 
A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( (
invr ` fld ) `  x )  e.  A )
13 cnrng 16713 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
141ssriv 3344 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
15 ssdif 3474 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { 0 } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
1716sseli 3336 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
18 cnfldbas 16697 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1918, 9, 7drngui 15831 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
20 cnflddiv 16721 . . . . . 6  |-  /  =  (/r
` fld
)
21 cnfld1 16716 . . . . . 6  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2218, 19, 20, 21, 10rnginvdv 15789 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
2313, 17, 22sylancr 645 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
24 eldifsn 3919 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  0
) )
25 cnsubrglem.6 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  A )
2624, 25sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  A
)
2723, 26eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  ( ( invr ` fld ) `  x )  e.  A )
2812, 27mprgbir 2768 . 2  |-  (flds  A )  e.  DivRing
296, 28pm3.2i 442 1  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  A )  e.  DivRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985   -ucneg 9282    / cdiv 9667   ↾s cress 13460   Ringcrg 15650   invrcinvr 15766   DivRingcdr 15825  SubRingcsubrg 15854  ℂfldccnfld 16693
This theorem is referenced by:  resubdrg  16740  qsubdrg  16741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-subg 14931  df-cmn 15404  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-drng 15827  df-subrg 15856  df-cnfld 16694
  Copyright terms: Public domain W3C validator