Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Unicode version

Theorem cnsubdrglem 16739
 Description: Lemma for resubdrg 16740 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1
cnsubglem.2
cnsubglem.3
cnsubrglem.4
cnsubrglem.5
cnsubrglem.6
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem SubRingfld flds
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3
2 cnsubglem.2 . . 3
3 cnsubglem.3 . . 3
4 cnsubrglem.4 . . 3
5 cnsubrglem.5 . . 3
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 16738 . 2 SubRingfld
7 cndrng 16720 . . . 4 fld
8 eqid 2435 . . . . 5 flds flds
9 cnfld0 16715 . . . . 5 fld
10 eqid 2435 . . . . 5 fld fld
118, 9, 10issubdrg 15883 . . . 4 fld SubRingfld flds fld
127, 6, 11mp2an 654 . . 3 flds fld
13 cnrng 16713 . . . . 5 fld
141ssriv 3344 . . . . . . 7
15 ssdif 3474 . . . . . . 7
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6
1716sseli 3336 . . . . 5
18 cnfldbas 16697 . . . . . 6 fld
1918, 9, 7drngui 15831 . . . . . 6 Unitfld
20 cnflddiv 16721 . . . . . 6 /rfld
21 cnfld1 16716 . . . . . 6 fld
2218, 19, 20, 21, 10rnginvdv 15789 . . . . 5 fld fld
2313, 17, 22sylancr 645 . . . 4 fld
24 eldifsn 3919 . . . . 5
25 cnsubrglem.6 . . . . 5
2624, 25sylbi 188 . . . 4
2723, 26eqeltrd 2509 . . 3 fld
2812, 27mprgbir 2768 . 2 flds
296, 28pm3.2i 442 1 SubRingfld flds
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cdif 3309   wss 3312  csn 3806  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983   cmul 8985  cneg 9282   cdiv 9667   ↾s cress 13460  crg 15650  cinvr 15766  cdr 15825  SubRingcsubrg 15854  ℂfldccnfld 16693 This theorem is referenced by:  resubdrg  16740  qsubdrg  16741 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-subg 14931  df-cmn 15404  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-drng 15827  df-subrg 15856  df-cnfld 16694
 Copyright terms: Public domain W3C validator