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Theorem cnt0 17410
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 17304 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnima 17329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F "
w )  e.  J
)
53, 4sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F " w )  e.  J )
6 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( `' F " w ) ) )
7 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( `' F " w ) ) )
86, 7bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
( x  e.  z  <-> 
y  e.  z )  <-> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
98rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " w )  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
11 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
12 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
1311, 12cnf 17310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
15 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  Fn  U. J )
17 elpreima 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w
) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
19 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  U. J )
2019biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( x  e. 
U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
2118, 20bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  x )  e.  w
) )
22 elpreima 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " w )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  U. J )
2524biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  w  <->  ( y  e. 
U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
2623, 25bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  y )  e.  w
) )
2721, 26bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " w )  <->  y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2827adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2910, 28sylibd 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w ) ) )
3029ralrimdva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
31 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  K  e.  Kol2 )
3214, 19ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
3314, 24ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
3412t0sep 17388 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K
) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
3531, 32, 33, 34syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
3630, 35syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
37 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
38 fdm 5595 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
3914, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  U. J )
40 f1dm 5643 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
4137, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  X )
4239, 41eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  U. J  =  X )
4319, 42eleqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  X
)
4424, 42eleqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  X
)
45 f1fveq 6008 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
4637, 43, 44, 45syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  <->  x  =  y
) )
4736, 46sylibd 206 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
4847ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
4911ist0 17384 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
502, 48, 49sylanbrc 646 1  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   U.cuni 4015   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Topctop 16958    Cn ccn 17288   Kol2ct0 17370
This theorem is referenced by:  restt0  17430  sst0  17437  t0hmph  17822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291  df-t0 17377
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