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Theorem cnt0 17074
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 16970 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnima 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F "
w )  e.  J
)
53, 4sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F " w )  e.  J )
6 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( `' F " w ) ) )
7 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( `' F " w ) ) )
86, 7bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
( x  e.  z  <-> 
y  e.  z )  <-> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
98rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " w )  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
105, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
1311, 12cnf 16976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
15 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  Fn  U. J )
17 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w
) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
19 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  U. J )
2019biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( x  e. 
U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
2118, 20bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  x )  e.  w
) )
22 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " w )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2316, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  U. J )
2524biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  w  <->  ( y  e. 
U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
2623, 25bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  y )  e.  w
) )
2721, 26bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " w )  <->  y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2827adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2910, 28sylibd 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w ) ) )
3029ralrimdva 2633 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
31 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  K  e.  Kol2 )
32 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  x  e.  U. J )  -> 
( F `  x
)  e.  U. K
)
3314, 19, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
34 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  y  e.  U. J )  -> 
( F `  y
)  e.  U. K
)
3514, 24, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
3612t0sep 17052 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K
) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
3731, 33, 35, 36syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
3830, 37syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
39 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
40 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
4114, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  U. J )
42 f1dm 5441 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
4339, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  X )
4441, 43eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  U. J  =  X )
4519, 44eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  X
)
4624, 44eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  X
)
47 f1fveq 5786 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
4839, 45, 46, 47syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  <->  x  =  y
) )
4938, 48sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
5049ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
5111ist0 17048 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
522, 50, 51sylanbrc 645 1  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631    Cn ccn 16954   Kol2ct0 17034
This theorem is referenced by:  restt0  17094  sst0  17101  t0hmph  17481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-t0 17041
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