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Theorem cnt0 17090
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 16986 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnima 17010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F "
w )  e.  J
)
53, 4sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( `' F " w )  e.  J )
6 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( `' F " w ) ) )
7 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( `' F " w ) ) )
86, 7bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' F " w )  ->  (
( x  e.  z  <-> 
y  e.  z )  <-> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
98rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " w )  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
105, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) ) ) )
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
12 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. K  =  U. K
1311, 12cnf 16992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
15 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F  Fn  U. J )
17 elpreima 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w
) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
19 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  U. J )
2019biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( x  e. 
U. J  /\  ( F `  x )  e.  w ) ) )
2118, 20bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  x )  e.  w
) )
22 elpreima 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " w )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2316, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  U. J )
2524biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  w  <->  ( y  e. 
U. J  /\  ( F `  y )  e.  w ) ) )
2623, 25bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
w )  <->  ( F `  y )  e.  w
) )
2721, 26bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " w )  <->  y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2827adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( `' F " w )  <-> 
y  e.  ( `' F " w ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
2910, 28sylibd 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J ) )  /\  w  e.  K )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  -> 
( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w ) ) )
3029ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
) ) )
31 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  K  e.  Kol2 )
32 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  x  e.  U. J )  -> 
( F `  x
)  e.  U. K
)
3314, 19, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
34 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  y  e.  U. J )  -> 
( F `  y
)  e.  U. K
)
3514, 24, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
3612t0sep 17068 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K
) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
3731, 33, 35, 36syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( F `  x )  e.  w  <->  ( F `  y )  e.  w
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
3830, 37syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
39 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
40 fdm 5409 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
4114, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  U. J )
42 f1dm 5457 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
4339, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  dom  F  =  X )
4441, 43eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  U. J  =  X )
4519, 44eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  x  e.  X
)
4624, 44eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  y  e.  X
)
47 f1fveq 5802 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
4839, 45, 46, 47syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  <->  x  =  y
) )
4938, 48sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
5049ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
5111ist0 17064 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
522, 50, 51sylanbrc 645 1  |-  ( ( K  e.  Kol2  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647    Cn ccn 16970   Kol2ct0 17050
This theorem is referenced by:  restt0  17110  sst0  17117  t0hmph  17497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-t0 17057
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