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Theorem cnt1 17078
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 16970 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 16976 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
653ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
7 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  Fn  U. J )
9 fnsnfv 5582 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  x  e.  U. J
)  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F " { x } ) )
108, 9sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F
" { x }
) )
1110imaeq2d 5012 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  ( `' F " ( F
" { x }
) ) )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F : X -1-1-> Y )
13 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
146, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  U. J
)
15 f1dm 5441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
16153ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  U. J  =  X
)
1817eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  U. J 
<->  x  e.  X ) )
1918biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
2019snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  X )
21 f1imacnv 5489 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { x }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2212, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2311, 22eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  {
x } )
24 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
25 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  K  e.  Fre )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  x  e.  U. J )  -> 
( F `  x
)  e.  U. K
)
276, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
284t1sncld 17054 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  ( F `  x )  e.  U. K )  ->  { ( F `
 x ) }  e.  ( Clsd `  K
) )
2925, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  e.  ( Clsd `  K ) )
30 cnclima 16997 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  { ( F `  x
) }  e.  (
Clsd `  K )
)  ->  ( `' F " { ( F `
 x ) } )  e.  ( Clsd `  J ) )
3124, 29, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
3223, 31eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
3332ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
343ist1 17049 . 2  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
352, 33, 34sylanbrc 645 1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Frect1 17035
This theorem is referenced by:  restt1  17095  sst1  17102  t1hmph  17482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-t1 17042
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