MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt1 Structured version   Unicode version

Theorem cnt1 17416
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 17306 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 981 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 17312 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
653ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
7 ffn 5593 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  Fn  U. J )
9 fnsnfv 5788 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  x  e.  U. J
)  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F " { x } ) )
108, 9sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F
" { x }
) )
1110imaeq2d 5205 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  ( `' F " ( F
" { x }
) ) )
12 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F : X -1-1-> Y )
13 fdm 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
146, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  U. J
)
15 f1dm 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
16153ad2ant2 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  U. J  =  X
)
1817eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  U. J 
<->  x  e.  X ) )
1918biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
2019snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  X )
21 f1imacnv 5693 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { x }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2212, 20, 21syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2311, 22eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  {
x } )
24 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
25 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  K  e.  Fre )
266ffvelrnda 5872 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
274t1sncld 17392 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  ( F `  x )  e.  U. K )  ->  { ( F `
 x ) }  e.  ( Clsd `  K
) )
2825, 26, 27syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  e.  ( Clsd `  K ) )
29 cnclima 17334 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  { ( F `  x
) }  e.  (
Clsd `  K )
)  ->  ( `' F " { ( F `
 x ) } )  e.  ( Clsd `  J ) )
3024, 28, 29syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
3123, 30eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
3231ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
333ist1 17387 . 2  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
342, 32, 33sylanbrc 647 1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960   Clsdccld 17082    Cn ccn 17290   Frect1 17373
This theorem is referenced by:  restt1  17433  sst1  17440  t1hmph  17825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cn 17293  df-t1 17380
  Copyright terms: Public domain W3C validator