MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt1 Unicode version

Theorem cnt1 17094
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 16986 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 16992 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
653ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
7 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  Fn  U. J )
9 fnsnfv 5598 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  x  e.  U. J
)  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F " { x } ) )
108, 9sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  =  ( F
" { x }
) )
1110imaeq2d 5028 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  ( `' F " ( F
" { x }
) ) )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F : X -1-1-> Y )
13 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
146, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  U. J
)
15 f1dm 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
16153ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  U. J  =  X
)
1817eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  U. J 
<->  x  e.  X ) )
1918biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
2019snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  X )
21 f1imacnv 5505 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { x }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2212, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " ( F
" { x }
) )  =  {
x } )
2311, 22eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  =  {
x } )
24 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
25 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  K  e.  Fre )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  x  e.  U. J )  -> 
( F `  x
)  e.  U. K
)
276, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
284t1sncld 17070 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  ( F `  x )  e.  U. K )  ->  { ( F `
 x ) }  e.  ( Clsd `  K
) )
2925, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { ( F `  x ) }  e.  ( Clsd `  K ) )
30 cnclima 17013 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  { ( F `  x
) }  e.  (
Clsd `  K )
)  ->  ( `' F " { ( F `
 x ) } )  e.  ( Clsd `  J ) )
3124, 29, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
3223, 31eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
3332ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
343ist1 17065 . 2  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  U. J { x }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
352, 33, 34sylanbrc 645 1  |-  ( ( K  e.  Fre  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  J  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Frect1 17051
This theorem is referenced by:  restt1  17111  sst1  17118  t1hmph  17498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-t1 17058
  Copyright terms: Public domain W3C validator