MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Unicode version

Theorem cntop1 16970
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 16968 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 446 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858   Topctop 16631    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  cnco  16995  cnclima  16997  cnntri  17000  cnclsi  17001  cnss2  17006  cncnpi  17007  cncnp2  17010  cnrest  17013  cnrest2  17014  cnrest2r  17015  lmcn  17033  cnt0  17074  cnt1  17078  cnhaus  17082  kgen2cn  17254  txcnmpt  17318  uptx  17319  txcn  17320  xkoco1cn  17351  xkoco2cn  17352  xkococnlem  17353  cnmpt21f  17366  qtopss  17406  qtopomap  17409  qtopcmap  17410  hmeofval  17449  hmeof1o  17455  hmeores  17462  hmphen  17476  txhmeo  17494  htpyco2  18477  cnmbfm  23568  hausgraph  27531  rfcnpre1  27690  fcnre  27696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator