MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Unicode version

Theorem cntop1 16986
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2296 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 16984 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 446 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267  (class class class)co 5874   Topctop 16647    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnco  17011  cnclima  17013  cnntri  17016  cnclsi  17017  cnss2  17022  cncnpi  17023  cncnp2  17026  cnrest  17029  cnrest2  17030  cnrest2r  17031  lmcn  17049  cnt0  17090  cnt1  17094  cnhaus  17098  kgen2cn  17270  txcnmpt  17334  uptx  17335  txcn  17336  xkoco1cn  17367  xkoco2cn  17368  xkococnlem  17369  cnmpt21f  17382  qtopss  17422  qtopomap  17425  qtopcmap  17426  hmeofval  17465  hmeof1o  17471  hmeores  17478  hmphen  17492  txhmeo  17510  htpyco2  18493  cnmbfm  23583  hausgraph  27634  rfcnpre1  27793  fcnre  27799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator