MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Unicode version

Theorem cntop1 17306
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2438 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 17304 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 448 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simpld 447 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   "cima 4883   -->wf 5452  (class class class)co 6083   Topctop 16960    Cn ccn 17290
This theorem is referenced by:  cnco  17332  cnclima  17334  cnntri  17337  cnclsi  17338  cnss2  17343  cncnpi  17344  cncnp2  17347  cnrest  17351  cnrest2  17352  cnrest2r  17353  lmcn  17371  cnt0  17412  cnt1  17416  cnhaus  17420  kgen2cn  17593  txcnmpt  17658  uptx  17659  txcn  17660  xkoco1cn  17691  xkoco2cn  17692  xkococnlem  17693  cnmpt21f  17706  qtopss  17749  qtopomap  17752  qtopcmap  17753  hmeofval  17792  hmeof1o  17798  hmeores  17805  hmphen  17819  txhmeo  17837  htpyco2  19006  hauseqcn  24295  cnmbfm  24615  hausgraph  27510  rfcnpre1  27668  fcnre  27674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293
  Copyright terms: Public domain W3C validator