MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop2 Structured version   Unicode version

Theorem cntop2 17297
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )

Proof of Theorem cntop2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2435 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 17294 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simplbi 447 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
54simprd 450 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   U.cuni 4007   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442  (class class class)co 6073   Topctop 16950    Cn ccn 17280
This theorem is referenced by:  cnco  17322  cncls2i  17326  cnntri  17327  cnss1  17332  cncnpi  17334  cncnp2  17337  cnrest  17341  cnrest2r  17343  paste  17350  cncmp  17447  rncmp  17451  cnconn  17477  conima  17480  concn  17481  2ndcomap  17513  kgen2cn  17583  txcnmpt  17648  uptx  17649  lmcn2  17673  xkoco1cn  17681  xkoco2cn  17682  xkococnlem  17683  cnmpt11  17687  cnmpt11f  17688  cnmpt1t  17689  cnmpt12  17691  cnmpt21  17695  cnmpt2t  17697  cnmpt22  17698  cnmpt22f  17699  cnmptcom  17702  cnmpt2k  17712  qtopeu  17740  hmeofval  17782  hmeof1o  17788  hmeontr  17793  hmeores  17795  hmeoqtop  17799  hmphen  17809  reghmph  17817  nrmhmph  17818  txhmeo  17827  xpstopnlem1  17833  cnmpt2pc  18945  ishtpy  18989  htpyco1  18995  htpyco2  18996  isphtpy  18998  phtpyco2  19007  isphtpc  19011  pcofval  19027  pcopt  19039  pcopt2  19040  pcorevlem  19043  pi1cof  19076  pi1coghm  19078  cnmbfm  24605  cnpcon  24909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283
  Copyright terms: Public domain W3C validator