Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntrsubgnsg Structured version   Unicode version

Theorem cntrsubgnsg 15131
 Description: A central subgroup is normal. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrnsg.z Cntr
Assertion
Ref Expression
cntrsubgnsg SubGrp NrmSGrp

Proof of Theorem cntrsubgnsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2 SubGrp SubGrp
2 simplr 732 . . . . . . . . 9 SubGrp
3 simprr 734 . . . . . . . . 9 SubGrp
42, 3sseldd 3341 . . . . . . . 8 SubGrp
5 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 Cntz Cntz
75, 6cntrval 15110 . . . . . . . . 9 Cntz Cntr
8 cntrnsg.z . . . . . . . . 9 Cntr
97, 8eqtr4i 2458 . . . . . . . 8 Cntz
104, 9syl6eleqr 2526 . . . . . . 7 SubGrp Cntz
11 simprl 733 . . . . . . 7 SubGrp
12 eqid 2435 . . . . . . . 8
1312, 6cntzi 15120 . . . . . . 7 Cntz
1410, 11, 13syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp
1514oveq1d 6088 . . . . 5 SubGrp
16 subgrcl 14941 . . . . . . 7 SubGrp
1716ad2antrr 707 . . . . . 6 SubGrp
185subgss 14937 . . . . . . . 8 SubGrp
1918ad2antrr 707 . . . . . . 7 SubGrp
2019, 3sseldd 3341 . . . . . 6 SubGrp
21 eqid 2435 . . . . . . 7
225, 12, 21grppncan 14871 . . . . . 6
2317, 20, 11, 22syl3anc 1184 . . . . 5 SubGrp
2415, 23eqtr3d 2469 . . . 4 SubGrp
2524, 3eqeltrd 2509 . . 3 SubGrp
2625ralrimivva 2790 . 2 SubGrp
275, 12, 21isnsg3 14966 . 2 NrmSGrp SubGrp
281, 26, 27sylanbrc 646 1 SubGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cgrp 14677  csg 14680  SubGrpcsubg 14930  NrmSGrpcnsg 14931  Cntzccntz 15106  Cntrccntr 15107 This theorem is referenced by:  cntrnsg  15132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-cntz 15108  df-cntr 15109
 Copyright terms: Public domain W3C validator