Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzcmn Structured version   Unicode version

Theorem cntzcmn 15459
 Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzcmn.b
cntzcmn.z Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzcmn CMnd

Proof of Theorem cntzcmn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzcmn.b . . . 4
2 cntzcmn.z . . . 4 Cntz
31, 2cntzssv 15127 . . 3
43a1i 11 . 2 CMnd
5 simpl1 960 . . . . . . 7 CMnd CMnd
6 simpl3 962 . . . . . . 7 CMnd
7 simp2 958 . . . . . . . 8 CMnd
87sselda 3348 . . . . . . 7 CMnd
9 eqid 2436 . . . . . . . 8
101, 9cmncom 15428 . . . . . . 7 CMnd
115, 6, 8, 10syl3anc 1184 . . . . . 6 CMnd
1211ralrimiva 2789 . . . . 5 CMnd
131, 9, 2cntzel 15122 . . . . . 6
14133adant1 975 . . . . 5 CMnd
1512, 14mpbird 224 . . . 4 CMnd
16153expia 1155 . . 3 CMnd
1716ssrdv 3354 . 2 CMnd
184, 17eqssd 3365 1 CMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  Cntzccntz 15114  CMndccmn 15412 This theorem is referenced by:  ablcntzd  15472  cntzcmnf  15515  gsumadd  15528 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-cntz 15116  df-cmn 15414
 Copyright terms: Public domain W3C validator