Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm Structured version   Unicode version

Theorem cntzmhm 15137
 Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z Cntz
cntzmhm.y Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzmhm MndHom

Proof of Theorem cntzmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4
2 eqid 2436 . . . 4
31, 2mhmf 14743 . . 3 MndHom
4 cntzmhm.z . . . . 5 Cntz
51, 4cntzssv 15127 . . . 4
65sseli 3344 . . 3
7 ffvelrn 5868 . . 3
83, 6, 7syl2an 464 . 2 MndHom
9 eqid 2436 . . . . . . . 8
109, 4cntzi 15128 . . . . . . 7
1110adantll 695 . . . . . 6 MndHom
1211fveq2d 5732 . . . . 5 MndHom
13 simpll 731 . . . . . 6 MndHom MndHom
146ad2antlr 708 . . . . . 6 MndHom
151, 4cntzrcl 15126 . . . . . . . . 9
1615adantl 453 . . . . . . . 8 MndHom
1716simprd 450 . . . . . . 7 MndHom
1817sselda 3348 . . . . . 6 MndHom
19 eqid 2436 . . . . . . 7
201, 9, 19mhmlin 14745 . . . . . 6 MndHom
2113, 14, 18, 20syl3anc 1184 . . . . 5 MndHom
221, 9, 19mhmlin 14745 . . . . . 6 MndHom
2313, 18, 14, 22syl3anc 1184 . . . . 5 MndHom
2412, 21, 233eqtr3d 2476 . . . 4 MndHom
2524ralrimiva 2789 . . 3 MndHom
263adantr 452 . . . . 5 MndHom
27 ffn 5591 . . . . 5
2826, 27syl 16 . . . 4 MndHom
29 oveq2 6089 . . . . . 6
30 oveq1 6088 . . . . . 6
3129, 30eqeq12d 2450 . . . . 5
3231ralima 5978 . . . 4
3328, 17, 32syl2anc 643 . . 3 MndHom
3425, 33mpbird 224 . 2 MndHom
35 imassrn 5216 . . . 4
36 frn 5597 . . . . 5
3726, 36syl 16 . . . 4 MndHom
3835, 37syl5ss 3359 . . 3 MndHom
39 cntzmhm.y . . . 4 Cntz
402, 19, 39elcntz 15121 . . 3
4138, 40syl 16 . 2 MndHom
428, 34, 41mpbir2and 889 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529   MndHom cmhm 14736  Cntzccntz 15114 This theorem is referenced by:  cntzmhm2  15138 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-mhm 14738  df-cntz 15116
 Copyright terms: Public domain W3C validator