Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm2 Structured version   Unicode version

Theorem cntzmhm2 15140
 Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z Cntz
cntzmhm.y Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzmhm2 MndHom

Proof of Theorem cntzmhm2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzmhm.z . . . . 5 Cntz
2 cntzmhm.y . . . . 5 Cntz
31, 2cntzmhm 15139 . . . 4 MndHom
43ralrimiva 2791 . . 3 MndHom
5 ssralv 3409 . . 3
64, 5mpan9 457 . 2 MndHom
7 eqid 2438 . . . . . 6
8 eqid 2438 . . . . . 6
97, 8mhmf 14745 . . . . 5 MndHom
109adantr 453 . . . 4 MndHom
11 ffun 5595 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3 MndHom
13 simpr 449 . . . . 5 MndHom
147, 1cntzssv 15129 . . . . 5
1513, 14syl6ss 3362 . . . 4 MndHom
16 fdm 5597 . . . . 5
1710, 16syl 16 . . . 4 MndHom
1815, 17sseqtr4d 3387 . . 3 MndHom
19 funimass4 5779 . . 3
2012, 18, 19syl2anc 644 . 2 MndHom
216, 20mpbird 225 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   cdm 4880  cima 4883   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   MndHom cmhm 14738  Cntzccntz 15116 This theorem is referenced by:  gsumzmhm  15535  gsumzinv  15542 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-mhm 14740  df-cntz 15118
 Copyright terms: Public domain W3C validator