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Theorem cntzsdrg 27510
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsdrg.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsdrg.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  DivRing )
2 drngrng 15519 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
3 cntzsdrg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 cntzsdrg.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
5 cntzsdrg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
63, 4, 5cntzsubr 15577 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
72, 6sylan 457 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
8 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )
( .r `  R
) y )  =  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
9 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
y ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  x ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
108, 9eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  <->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) ) )
11 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
134oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1512, 13, 14invrfval 15455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R ) ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
173, 12, 16isdrng 15516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
1817simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R )
) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2115, 20syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( invr `  R
)  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2322fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  =  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
) )
244oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) )
253, 16, 24drngmgp 15524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
27 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
29 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  B
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
314, 3mgpbas 15331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  M
)
3230, 31ressbas2 13199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  B  ->  ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
3329, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
3533, 34cntzsubg 14812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Grp  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  ->  (
(Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) )
3626, 28, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
37 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z `  S ) 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  ( Z `  S )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
39 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  S
4031, 5cntz2ss 14808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  S
)  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
4138, 39, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4237, 41syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( Z `  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4342sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4431, 5cntzssv 14804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z `
 S )  C_  B
45 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z `  S ) 
C_  B  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4644, 45mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4746sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
48 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  <->  ( x  e.  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  /\  x  e.  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4943, 47, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
50 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  e.  _V
513, 50eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
52 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V
5430, 5, 34resscntz 14807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5553, 28, 54sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5649, 55eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
57 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5857subginvcl 14630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  /\  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  ->  (
( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
)  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5936, 56, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
6023, 59eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
624, 61mgpplusg 15329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
6330, 62ressplusg 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  e.  _V  ->  ( .r `  R
)  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
6453, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
6564, 34cntzi 14805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
6660, 65sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6711, 66sylan2br 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6867anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
692ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
701adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  R  e.  DivRing )
71 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7344, 72sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  B )
74 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
7574adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
763, 16, 14drnginvrcl 15529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7770, 73, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7877adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
793, 61, 16rngrz 15378 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
8069, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
813, 61, 16rnglz 15377 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8269, 78, 81syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8380, 82eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8410, 68, 83pm2.61ne 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8584ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  A. y  e.  S  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
86 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  S  C_  B
)
8731, 62, 5cntzel 14799 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invr `  R
) `  x )  e.  B )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8886, 77, 87syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8985, 88mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S ) )
9089ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) )
9114, 16issdrg2 27506 . 2  |-  ( ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R
)  <->  ( R  e.  DivRing 
/\  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )  /\  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) ) )
921, 7, 90, 91syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337  Unitcui 15421   invrcinvr 15453   DivRingcdr 15512  SubRingcsubrg 15541  SubDRingcsdrg 27503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-sdrg 27504
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