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Theorem cntzsdrg 27478
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsdrg.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsdrg.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  DivRing )
2 drngrng 15834 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
3 cntzsdrg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 cntzsdrg.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
5 cntzsdrg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
63, 4, 5cntzsubr 15892 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
72, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
8 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )
( .r `  R
) y )  =  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
9 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
y ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  x ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
108, 9eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  <->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) ) )
11 eldifsn 3919 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
134oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  (Unit `  R )
)
14 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1512, 13, 14invrfval 15770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R ) ) )
16 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
173, 12, 16isdrng 15831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
1817simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (Unit `  R
)  =  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
1918oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  (Unit `  R ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
2019fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( inv g `  ( Ms  (Unit `  R )
) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2115, 20syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( invr `  R
)  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( invr `  R )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
2322fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  =  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
) )
244oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) )
253, 16, 24drngmgp 15839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( Ms  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Grp )
27 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
2827ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
29 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  B
30 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
314, 3mgpbas 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  M
)
3230, 31ressbas2 13512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  B  ->  ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
3329, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( Base `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
3533, 34cntzsubg 15127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Grp  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  ->  (
(Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) )
3626, 28, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
38 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } )  C_  S
3931, 5cntz2ss 15123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  S
)  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4140ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( Z `  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4241sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  ( S 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
4331, 5cntzssv 15119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z `
 S )  C_  B
44 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Z `  S ) 
C_  B  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  \  { ( 0g `  R ) } )  C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
4645sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )
47 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  <->  ( x  e.  ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  /\  x  e.  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
4842, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  i^i  ( B  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
49 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  e.  _V
503, 49eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
51 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  { ( 0g
`  R ) } )  e.  _V
5330, 5, 34resscntz 15122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  \  {
( 0g `  R
) } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) 
C_  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5452, 28, 53sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( ( Z `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  i^i  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5548, 54eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
56 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  =  ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5756subginvcl 14945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  (SubGrp `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  /\  x  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  ->  (
( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  x
)  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
5836, 55, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( inv g `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
5923, 58eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) `  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
60 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
614, 60mgpplusg 15644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
6230, 61ressplusg 13563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  \  { ( 0g `  R ) } )  e.  _V  ->  ( .r `  R
)  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
6352, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
6463, 34cntzi 15120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( (Cntz `  ( Ms  ( B  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) `
 ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  {
( 0g `  R
) } ) )  ->  ( ( (
invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
6559, 64sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  ( S  \  { ( 0g `  R ) } ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6611, 65sylan2br 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) )
6766anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
682ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
691adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  R  e.  DivRing )
70 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
7243, 71sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  e.  B )
73 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  \  { ( 0g `  R ) } )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
753, 16, 14drnginvrcl 15844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7669, 72, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
7776adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  B
)
783, 60, 16rngrz 15693 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7968, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
803, 60, 16rnglz 15692 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  x )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8168, 77, 80syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
)  =  ( 0g
`  R ) )
8279, 81eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8310, 67, 82pm2.61ne 2673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  DivRing 
/\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
8483ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  A. y  e.  S  ( (
( invr `  R ) `  x ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  x
) ) )
85 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  S  C_  B
)
8631, 61, 5cntzel 15114 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( invr `  R
) `  x )  e.  B )  ->  (
( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8785, 76, 86syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( (
( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S )  <->  A. y  e.  S  ( ( ( invr `  R ) `  x
) ( .r `  R ) y )  =  ( y ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  x )
) ) )
8884, 87mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) )  ->  ( ( invr `  R ) `  x )  e.  ( Z `  S ) )
8988ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  {
( 0g `  R
) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) )
9014, 16issdrg2 27474 . 2  |-  ( ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R
)  <->  ( R  e.  DivRing 
/\  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )  /\  A. x  e.  ( ( Z `  S )  \  { ( 0g `  R ) } ) ( ( invr `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
) ) )
911, 7, 89, 90syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubDRing `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  SubGrpcsubg 14930  Cntzccntz 15106  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652  Unitcui 15736   invrcinvr 15768   DivRingcdr 15827  SubRingcsubrg 15856  SubDRingcsdrg 27471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-sdrg 27472
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