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Theorem cntzsnval 15124
Description: Special substitution for the centralizer of a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
cntzfval.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsnval  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Z `  { Y } )  =  {
x  e.  B  | 
( x  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  x ) } )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, M    x, Y
Allowed substitution hint:    Z( x)

Proof of Theorem cntzsnval
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3943 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  { Y }  C_  B )
2 cntzfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
4 cntzfval.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
52, 3, 4cntzval 15121 . . 3  |-  ( { Y }  C_  B  ->  ( Z `  { Y } )  =  {
x  e.  B  |  A. y  e.  { Y }  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) } )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Z `  { Y } )  =  {
x  e.  B  |  A. y  e.  { Y }  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) } )
7 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  .+  Y ) )
8 oveq1 6089 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  x )  =  ( Y  .+  x ) )
97, 8eqeq12d 2451 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x )  <->  ( x  .+  Y )  =  ( Y  .+  x ) ) )
109ralsng 3847 . . 3  |-  ( Y  e.  B  ->  ( A. y  e.  { Y }  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x )  <-> 
( x  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  x ) ) )
1110rabbidv 2949 . 2  |-  ( Y  e.  B  ->  { x  e.  B  |  A. y  e.  { Y }  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) }  =  { x  e.  B  |  (
x  .+  Y )  =  ( Y  .+  x ) } )
126, 11eqtrd 2469 1  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Z `  { Y } )  =  {
x  e.  B  | 
( x  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  x ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710    C_ wss 3321   {csn 3815   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530  Cntzccntz 15115
This theorem is referenced by:  elcntzsn  15125  cntziinsn  15134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-cntz 15117
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