MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Unicode version

Theorem cntzspan 15388
Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
cntzspan.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
cntzspan.h  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
Assertion
Ref Expression
cntzspan  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21submacs 14693 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (ACS `  ( Base `  G ) ) )
43acsmred 13809 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
5 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  S ) )
6 cntzspan.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (Cntz `  G )
71, 6cntzssv 15055 . . . . . . 7  |-  ( Z `
 S )  C_  ( Base `  G )
85, 7syl6ss 3304 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
91, 6cntzsubm 15062 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
108, 9syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
11 cntzspan.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
1211mrcsscl 13773 . . . . 5  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  S )  /\  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  S )
)
134, 5, 10, 12syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  S ) )
144, 11mrcssvd 13776 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Base `  G ) )
151, 6cntzrec 15060 . . . . 5  |-  ( ( ( K `  S
)  C_  ( Base `  G )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  (
( K `  S
)  C_  ( Z `  S )  <->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1614, 8, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( ( K `  S )  C_  ( Z `  S )  <->  S 
C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
1713, 16mpbid 202 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
181, 6cntzsubm 15062 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( K `  S ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)
1914, 18syldan 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( Z `  ( K `  S )
)  e.  (SubMnd `  G ) )
2011mrcsscl 13773 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Z `  ( K `  S ) )  /\  ( Z `
 ( K `  S ) )  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) )
214, 17, 19, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) )
2211mrccl 13764 . . . 4  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G )
)
234, 8, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( K `  S
)  e.  (SubMnd `  G ) )
24 cntzspan.h . . . 4  |-  H  =  ( Gs  ( K `  S ) )
2524, 6submcmn2 15386 . . 3  |-  ( ( K `  S )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
( K `  S
)  C_  ( Z `  ( K `  S
) ) ) )
2623, 25syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  -> 
( H  e. CMnd  <->  ( K `  S )  C_  ( Z `  ( K `  S ) ) ) )
2721, 26mpbird 224 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  ( Z `  S ) )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   ↾s cress 13398  Moorecmre 13735  mrClscmrc 13736  ACScacs 13738   Mndcmnd 14612  SubMndcsubmnd 14665  Cntzccntz 15042  CMndccmn 15340
This theorem is referenced by:  gsumzsplit  15457  gsumzoppg  15467  gsumpt  15473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-cntz 15044  df-cmn 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator