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Theorem cntzsubg 14812
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14494 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
42, 3cntzsubm 14811 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
51, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  M  e.  Grp )
72, 3cntzssv 14804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 S )  C_  B
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
97, 8sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  B )
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  M )  =  ( inv g `  M )
112, 10grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )
13 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
1413ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  B )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
162, 15grpcl 14495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  e.  B
)
176, 9, 12, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B )
182, 15grpass 14496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
202, 15grpass 14496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
2415, 3cntzi 14805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2625oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( ( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
2823, 27eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
292, 15grpcl 14495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  e.  B
)
306, 14, 12, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B )
312, 15grpass 14496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
332, 15grpass 14496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
392, 15, 38, 10grprinv 14529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
)  =  ( 0g
`  M ) )
406, 9, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( 0g `  M ) )
4140oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
422, 15grpcl 14495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)
436, 12, 14, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  e.  B )
442, 15, 38grprid 14513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
456, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( ( ( inv g `  M
) `  x )
( +g  `  M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 14528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
486, 9, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x )  =  ( 0g `  M
) )
4948oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
502, 15, 38grplid 14512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  M ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5249, 51eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5453anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Grp  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5554ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( (
( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
56 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
57 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  M  e.  Grp )
58 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
597, 58sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
6057, 59, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B )
612, 15, 3cntzel 14799 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. y  e.  S  ( (
( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
6355, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
6463ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S )
( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) )
6510issubg3 14637 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
6665adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 888 1  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubMndcsubmnd 14414  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791
This theorem is referenced by:  cntrnsg  14817  lsmcntz  14988  dprdz  15265  dprdcntz2  15273  dmdprdsplit2lem  15280  cntzsdrg  27510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cntz 14793
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