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Theorem cntzsubg 14828
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 14510 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
42, 3cntzsubm 14827 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
51, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  M  e.  Grp )
72, 3cntzssv 14820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 S )  C_  B
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
97, 8sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  B )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  M )  =  ( inv g `  M )
112, 10grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )
13 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
1413ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  B )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
162, 15grpcl 14511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  e.  B
)
176, 9, 12, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B )
182, 15grpass 14512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
202, 15grpass 14512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
2221oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
2415, 3cntzi 14821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) x ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( ( y ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )
2726oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( ( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
2823, 27eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
292, 15grpcl 14511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  e.  B
)
306, 14, 12, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B )
312, 15grpass 14512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) ) )
332, 15grpass 14512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B ) )  ->  ( (
x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
3534oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) ( ( x ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
392, 15, 38, 10grprinv 14545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
)  =  ( 0g
`  M ) )
406, 9, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) )  =  ( 0g `  M ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
422, 15grpcl 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)
436, 12, 14, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  e.  B )
442, 15, 38grprid 14529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
456, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  ( ( ( inv g `  M
) `  x )
( +g  `  M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 14544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x )  =  ( 0g `  M ) )
486, 9, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) x )  =  ( 0g `  M
) )
4948oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) ) )
502, 15, 38grplid 14528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  M ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M ) `  x
) ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5249, 51eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5453anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Grp  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
5554ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( (
( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) )
56 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
57 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  M  e.  Grp )
58 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
597, 58sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
6057, 59, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  B )
612, 15, 3cntzel 14815 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  M
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. y  e.  S  ( ( ( inv g `  M ) `
 x ) ( +g  `  M ) y )  =  ( y ( +g  `  M
) ( ( inv g `  M ) `
 x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. y  e.  S  ( (
( inv g `  M ) `  x
) ( +g  `  M
) y )  =  ( y ( +g  `  M ) ( ( inv g `  M
) `  x )
) ) )
6355, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  M ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
6463ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S )
( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) )
6510issubg3 14653 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
6665adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  M )  <->  ( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  /\  A. x  e.  ( Z `  S ) ( ( inv g `  M ) `  x
)  e.  ( Z `
 S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 888 1  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  cntrnsg  14833  lsmcntz  15004  dprdz  15281  dprdcntz2  15289  dmdprdsplit2lem  15296  cntzsdrg  27613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cntz 14809
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