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Theorem cntzsubm 14827
Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubm  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
31, 2cntzssv 14820 . . 3  |-  ( Z `
 S )  C_  B
43a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  C_  B )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
61, 5mndidcl 14407 . . . 4  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  B )
8 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  M  e.  Mnd )
9 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
109sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
121, 11, 5mndlid 14409 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
138, 10, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
141, 11, 5mndrid 14410 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  x )
158, 10, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x
( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  x )
1613, 15eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1716ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
181, 11, 2elcntz 14814 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) ) ) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( 0g `  M )  e.  ( Z `  S )  <-> 
( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) ) ) )
207, 17, 19mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S ) )
21 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
22 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
233, 22sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  B )
24 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Z `  S
) )
253, 24sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  B )
261, 11mndcl 14388 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) z )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B )
2821adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  Mnd )
2923adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  y  e.  B )
3025adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  z  e.  B )
3110adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
321, 11mndass 14389 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3411, 2cntzi 14821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( z ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3524, 34sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
z ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3635oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
371, 11mndass 14389 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3828, 29, 31, 30, 37syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3911, 2cntzi 14821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( y ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4022, 39sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4140oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
4236, 38, 413eqtr2d 2334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
431, 11mndass 14389 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4428, 31, 29, 30, 43syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4533, 42, 443eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4645ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
471, 11, 2elcntz 14814 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4847ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4927, 46, 48mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  ( Z `  S
) )
5049ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. y  e.  ( Z `  S ) A. z  e.  ( Z `  S )
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) )
511, 5, 11issubm 14441 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
5251adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
534, 20, 50, 52mpbir3and 1135 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  cntzsubg  14828  cntzspan  15153  dprdfadd  15271  cntzsubr  15593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-cntz 14809
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