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Theorem cntzsubm 15135
Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
cntzrec.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubm  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem cntzsubm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzrec.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 cntzrec.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  M )
31, 2cntzssv 15128 . . 3  |-  ( Z `
 S )  C_  B
43a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  C_  B )
5 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
61, 5mndidcl 14715 . . . 4  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  B )
8 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  M  e.  Mnd )
9 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
109sselda 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
11 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
121, 11, 5mndlid 14717 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
138, 10, 12syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  x )
141, 11, 5mndrid 14718 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  M ) ( 0g
`  M ) )  =  x )
158, 10, 14syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x
( +g  `  M ) ( 0g `  M
) )  =  x )
1613, 15eqtr4d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1716ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) )
181, 11, 2elcntz 15122 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) ) ) )
1918adantl 454 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( 0g `  M )  e.  ( Z `  S )  <-> 
( ( 0g `  M )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( ( 0g `  M ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( 0g `  M
) ) ) ) )
207, 17, 19mpbir2and 890 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( 0g `  M
)  e.  ( Z `
 S ) )
21 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
22 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
233, 22sseldi 3347 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  y  e.  B )
24 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Z `  S
) )
253, 24sseldi 3347 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  z  e.  B )
261, 11mndcl 14696 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  M ) z )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B )
2821adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  M  e.  Mnd )
2923adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  y  e.  B )
3025adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  z  e.  B )
3110adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
321, 11mndass 14697 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( y ( +g  `  M ) ( z ( +g  `  M
) x ) ) )
3411, 2cntzi 15129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( z ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3524, 34sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
z ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) z ) )
3635oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
371, 11mndass 14697 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3828, 29, 31, 30, 37syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( y ( +g  `  M ) ( x ( +g  `  M
) z ) ) )
3911, 2cntzi 15129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  S )  ->  ( y ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4022, 39sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
4140oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) x ) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
4236, 38, 413eqtr2d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  M
) ( z ( +g  `  M ) x ) )  =  ( ( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M ) z ) )
431, 11mndass 14697 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4428, 31, 29, 30, 43syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  M
) z )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4533, 42, 443eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  S  C_  B
)  /\  ( y  e.  ( Z `  S
)  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z ) ( +g  `  M
) x )  =  ( x ( +g  `  M ) ( y ( +g  `  M
) z ) ) )
4645ralrimiva 2790 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) )
471, 11, 2elcntz 15122 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4847ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S )  <->  ( (
y ( +g  `  M
) z )  e.  B  /\  A. x  e.  S  ( (
y ( +g  `  M
) z ) ( +g  `  M ) x )  =  ( x ( +g  `  M
) ( y ( +g  `  M ) z ) ) ) ) )
4927, 46, 48mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  /\  ( y  e.  ( Z `  S )  /\  z  e.  ( Z `  S ) ) )  ->  (
y ( +g  `  M
) z )  e.  ( Z `  S
) )
5049ralrimivva 2799 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  ->  A. y  e.  ( Z `  S ) A. z  e.  ( Z `  S )
( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) )
511, 5, 11issubm 14749 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
5251adantr 453 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( 0g
`  M )  e.  ( Z `  S
)  /\  A. y  e.  ( Z `  S
) A. z  e.  ( Z `  S
) ( y ( +g  `  M ) z )  e.  ( Z `  S ) ) ) )
534, 20, 50, 52mpbir3and 1138 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    C_ wss 3321   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Mndcmnd 14685  SubMndcsubmnd 14738  Cntzccntz 15115
This theorem is referenced by:  cntzsubg  15136  cntzspan  15461  dprdfadd  15579  cntzsubr  15901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-riota 6550  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-cntz 15117
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