Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Unicode version

Theorem cntzsubr 15900
 Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b
cntzsubr.m mulGrp
cntzsubr.z Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzsubr SubRing

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 mulGrp
2 cntzsubr.b . . . . . 6
31, 2mgpbas 15654 . . . . 5
4 cntzsubr.z . . . . 5 Cntz
53, 4cntzssv 15127 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 simpll 731 . . . . . . . 8
8 ssel2 3343 . . . . . . . . 9
98adantll 695 . . . . . . . 8
10 eqid 2436 . . . . . . . . 9
11 eqid 2436 . . . . . . . . 9
122, 10, 11rnglz 15700 . . . . . . . 8
137, 9, 12syl2anc 643 . . . . . . 7
142, 10, 11rngrz 15701 . . . . . . . 8
157, 9, 14syl2anc 643 . . . . . . 7
1613, 15eqtr4d 2471 . . . . . 6
1716ralrimiva 2789 . . . . 5
18 simpr 448 . . . . . 6
192, 11rng0cl 15685 . . . . . . 7
2019adantr 452 . . . . . 6
211, 10mgpplusg 15652 . . . . . . 7
223, 21, 4cntzel 15122 . . . . . 6
2318, 20, 22syl2anc 643 . . . . 5
2417, 23mpbird 224 . . . 4
25 ne0i 3634 . . . 4
2624, 25syl 16 . . 3
27 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
2921, 4cntzi 15128 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
31 simpl3 962 . . . . . . . . . . . 12
3221, 4cntzi 15128 . . . . . . . . . . . 12
3331, 28, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
3430, 33oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
35 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . 11
365, 27sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11
375, 31sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11
38 simp1r 982 . . . . . . . . . . . 12
3938sselda 3348 . . . . . . . . . . 11
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
412, 40, 10rngdir 15683 . . . . . . . . . . 11
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10
432, 40, 10rngdi 15682 . . . . . . . . . . 11
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10
4534, 42, 443eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9
4645ralrimiva 2789 . . . . . . . 8
47 simp1l 981 . . . . . . . . . 10
48 simp2 958 . . . . . . . . . . 11
495, 48sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
50 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
515, 50sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
522, 40rngacl 15691 . . . . . . . . . 10
5347, 49, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
543, 21, 4cntzel 15122 . . . . . . . . 9
5538, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . 8
5646, 55mpbird 224 . . . . . . 7
57563expa 1153 . . . . . 6
5857ralrimiva 2789 . . . . 5
5929adantll 695 . . . . . . . . 9
6059fveq2d 5732 . . . . . . . 8
61 eqid 2436 . . . . . . . . 9
62 simplll 735 . . . . . . . . 9
63 simplr 732 . . . . . . . . . 10
645, 63sseldi 3346 . . . . . . . . 9
65 simplr 732 . . . . . . . . . 10
6665sselda 3348 . . . . . . . . 9
672, 10, 61, 62, 64, 66rngmneg1 15705 . . . . . . . 8
682, 10, 61, 62, 66, 64rngmneg2 15706 . . . . . . . 8
6960, 67, 683eqtr4d 2478 . . . . . . 7
7069ralrimiva 2789 . . . . . 6
71 rnggrp 15669 . . . . . . . . 9
7271ad2antrr 707 . . . . . . . 8
73 simpr 448 . . . . . . . . 9
745, 73sseldi 3346 . . . . . . . 8
752, 61grpinvcl 14850 . . . . . . . 8
7672, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . 7
773, 21, 4cntzel 15122 . . . . . . 7
7865, 76, 77syl2anc 643 . . . . . 6
7970, 78mpbird 224 . . . . 5
8058, 79jca 519 . . . 4
8180ralrimiva 2789 . . 3
8271adantr 452 . . . 4
832, 40, 61issubg2 14959 . . . 4 SubGrp
8482, 83syl 16 . . 3 SubGrp
856, 26, 81, 84mpbir3and 1137 . 2 SubGrp
861rngmgp 15670 . . 3
873, 4cntzsubm 15134 . . 3 SubMnd
8886, 87sylan 458 . 2 SubMnd
891issubrg3 15896 . . 3 SubRing SubGrp SubMnd
9089adantr 452 . 2 SubRing SubGrp SubMnd
9185, 88, 90mpbir2and 889 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705   wss 3320  c0 3628  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  c0g 13723  cmnd 14684  cgrp 14685  cminusg 14686  SubMndcsubmnd 14737  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  SubRingcsubrg 15864 This theorem is referenced by:  cntzsdrg  27487 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866
 Copyright terms: Public domain W3C validator