Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Unicode version

Theorem cntzsubr 15676
 Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b
cntzsubr.m mulGrp
cntzsubr.z Cntz
Assertion
Ref Expression
cntzsubr SubRing

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 mulGrp
2 cntzsubr.b . . . . . 6
31, 2mgpbas 15430 . . . . 5
4 cntzsubr.z . . . . 5 Cntz
53, 4cntzssv 14903 . . . 4
65a1i 10 . . 3
7 simpll 730 . . . . . . . 8
8 ssel2 3251 . . . . . . . . 9
98adantll 694 . . . . . . . 8
10 eqid 2358 . . . . . . . . 9
11 eqid 2358 . . . . . . . . 9
122, 10, 11rnglz 15476 . . . . . . . 8
137, 9, 12syl2anc 642 . . . . . . 7
142, 10, 11rngrz 15477 . . . . . . . 8
157, 9, 14syl2anc 642 . . . . . . 7
1613, 15eqtr4d 2393 . . . . . 6
1716ralrimiva 2702 . . . . 5
18 simpr 447 . . . . . 6
192, 11rng0cl 15461 . . . . . . 7
2019adantr 451 . . . . . 6
211, 10mgpplusg 15428 . . . . . . 7
223, 21, 4cntzel 14898 . . . . . 6
2318, 20, 22syl2anc 642 . . . . 5
2417, 23mpbird 223 . . . 4
25 ne0i 3537 . . . 4
2624, 25syl 15 . . 3
27 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
2921, 4cntzi 14904 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
31 simpl3 960 . . . . . . . . . . . 12
3221, 4cntzi 14904 . . . . . . . . . . . 12
3331, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
3430, 33oveq12d 5963 . . . . . . . . . 10
35 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . 11
365, 27sseldi 3254 . . . . . . . . . . 11
375, 31sseldi 3254 . . . . . . . . . . 11
38 simp1r 980 . . . . . . . . . . . 12
3938sselda 3256 . . . . . . . . . . 11
40 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12
412, 40, 10rngdir 15459 . . . . . . . . . . 11
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10
432, 40, 10rngdi 15458 . . . . . . . . . . 11
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10
4534, 42, 443eqtr4d 2400 . . . . . . . . 9
4645ralrimiva 2702 . . . . . . . 8
47 simp1l 979 . . . . . . . . . 10
48 simp2 956 . . . . . . . . . . 11
495, 48sseldi 3254 . . . . . . . . . 10
50 simp3 957 . . . . . . . . . . 11
515, 50sseldi 3254 . . . . . . . . . 10
522, 40rngacl 15467 . . . . . . . . . 10
5347, 49, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
543, 21, 4cntzel 14898 . . . . . . . . 9
5538, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8
5646, 55mpbird 223 . . . . . . 7
57563expa 1151 . . . . . 6
5857ralrimiva 2702 . . . . 5
5929adantll 694 . . . . . . . . 9
6059fveq2d 5612 . . . . . . . 8
61 eqid 2358 . . . . . . . . 9
62 simplll 734 . . . . . . . . 9
63 simplr 731 . . . . . . . . . 10
645, 63sseldi 3254 . . . . . . . . 9
65 simplr 731 . . . . . . . . . 10
6665sselda 3256 . . . . . . . . 9
672, 10, 61, 62, 64, 66rngmneg1 15481 . . . . . . . 8
682, 10, 61, 62, 66, 64rngmneg2 15482 . . . . . . . 8
6960, 67, 683eqtr4d 2400 . . . . . . 7
7069ralrimiva 2702 . . . . . 6
71 rnggrp 15445 . . . . . . . . 9
7271ad2antrr 706 . . . . . . . 8
73 simpr 447 . . . . . . . . 9
745, 73sseldi 3254 . . . . . . . 8
752, 61grpinvcl 14626 . . . . . . . 8
7672, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . 7
773, 21, 4cntzel 14898 . . . . . . 7
7865, 76, 77syl2anc 642 . . . . . 6
7970, 78mpbird 223 . . . . 5
8058, 79jca 518 . . . 4
8180ralrimiva 2702 . . 3
8271adantr 451 . . . 4
832, 40, 61issubg2 14735 . . . 4 SubGrp
8482, 83syl 15 . . 3 SubGrp
856, 26, 81, 84mpbir3and 1135 . 2 SubGrp
861rngmgp 15446 . . 3
873, 4cntzsubm 14910 . . 3 SubMnd
8886, 87sylan 457 . 2 SubMnd
891issubrg3 15672 . . 3 SubRing SubGrp SubMnd
9089adantr 451 . 2 SubRing SubGrp SubMnd
9185, 88, 90mpbir2and 888 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619   wss 3228  c0 3531  cfv 5337  (class class class)co 5945  cbs 13245   cplusg 13305  cmulr 13306  c0g 13499  cmnd 14460  cgrp 14461  cminusg 14462  SubMndcsubmnd 14513  SubGrpcsubg 14714  Cntzccntz 14890  mulGrpcmgp 15424  crg 15436  SubRingcsubrg 15640 This theorem is referenced by:  cntzsdrg  26833 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-subrg 15642
 Copyright terms: Public domain W3C validator