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Theorem cntzsubr 15900
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
cntzsubr.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
cntzsubr.z  |-  Z  =  (Cntz `  M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 cntzsubr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 15654 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 cntzsubr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  M )
53, 4cntzssv 15127 . . . 4  |-  ( Z `
 S )  C_  B
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  C_  B )
7 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  R  e.  Ring )
8 ssel2 3343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
98adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  z  e.  B )
10 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
11 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
122, 10, 11rnglz 15700 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
137, 9, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( 0g `  R ) )
142, 10, 11rngrz 15701 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
157, 9, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
1613, 15eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
18 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  S  C_  B )
192, 11rng0cl 15685 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
211, 10mgpplusg 15652 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
223, 21, 4cntzel 15122 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) ) )
2318, 20, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( 0g `  R
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) ) )
2417, 23mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S
) )
25 ne0i 3634 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  ( Z `  S )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  =/=  (/) )
27 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
2921, 4cntzi 15128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( x ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) x ) )
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
31 simpl3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  ( Z `  S
) )
3221, 4cntzi 15128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( Z `
 S )  /\  z  e.  S )  ->  ( y ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) y ) )
3331, 28, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) y ) )
3430, 33oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
35 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
365, 27sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
375, 31sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
38 simp1r 982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
3938sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
412, 40, 10rngdir 15683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) ) )
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( ( x ( .r `  R ) z ) ( +g  `  R ) ( y ( .r `  R
) z ) ) )
432, 40, 10rngdi 15682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z
( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
4534, 42, 443eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  R
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
4645ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
47 simp1l 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
48 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
495, 48sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
50 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  ( Z `  S ) )
515, 50sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  y  e.  B )
522, 40rngacl 15691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  B )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  B
)
543, 21, 4cntzel 15122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  B )  -> 
( ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5538, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( x ( +g  `  R ) y ) ( .r
`  R ) z )  =  ( z ( .r `  R
) ( x ( +g  `  R ) y ) ) ) )
5646, 55mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )  /\  y  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
57563expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  y  e.  ( Z `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
) )
5857ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S ) )
5929adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
6059fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( inv g `  R ) `  (
x ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( inv g `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
61 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
62 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
63 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
645, 63sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  B )
65 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  S  C_  B
)
6665sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
672, 10, 61, 62, 64, 66rngmneg1 15705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) z ) ) )
682, 10, 61, 62, 66, 64rngmneg2 15706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
z ( .r `  R ) ( ( inv g `  R
) `  x )
)  =  ( ( inv g `  R
) `  ( z
( .r `  R
) x ) ) )
6960, 67, 683eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  C_  B
)  /\  x  e.  ( Z `  S ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( inv g `  R ) `  x
) ) )
7069ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  A. z  e.  S  ( (
( inv g `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( inv g `  R ) `  x
) ) )
71 rnggrp 15669 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7271ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  R  e.  Grp )
73 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  ( Z `  S ) )
745, 73sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  x  e.  B )
752, 61grpinvcl 14850 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  B )
7672, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  B )
773, 21, 4cntzel 15122 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  B  /\  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  R
) `  x )  e.  ( Z `  S
)  <->  A. z  e.  S  ( ( ( inv g `  R ) `
 x ) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( inv g `  R
) `  x )
) ) )
7865, 76, 77syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( (
( inv g `  R ) `  x
)  e.  ( Z `
 S )  <->  A. z  e.  S  ( (
( inv g `  R ) `  x
) ( .r `  R ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( ( inv g `  R ) `  x
) ) ) )
7970, 78mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) )
8058, 79jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  /\  x  e.  ( Z `  S )
)  ->  ( A. y  e.  ( Z `  S ) ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Z `  S
)  /\  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8180ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) )
8271adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  R  e.  Grp )
832, 40, 61issubg2 14959 . . . 4  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( ( Z `  S )  C_  B  /\  ( Z `
 S )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Z `  S
) ( A. y  e.  ( Z `  S
) ( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Z `  S )  /\  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  ( Z `  S
) ) ) ) )
856, 26, 81, 84mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubGrp `  R )
)
861rngmgp 15670 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
873, 4cntzsubm 15134 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B )  -> 
( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) )
8886, 87sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubMnd `  M )
)
891issubrg3 15896 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9089adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  (
( Z `  S
)  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( Z `
 S )  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( Z `  S
)  e.  (SubMnd `  M ) ) ) )
9185, 88, 90mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  C_  B )  ->  ( Z `  S )  e.  (SubRing `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   Mndcmnd 14684   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686  SubMndcsubmnd 14737  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660  SubRingcsubrg 15864
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866
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