MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Unicode version

Theorem cnv0 5100
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5067 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4826 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2804 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2804 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 4879 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3472 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3472 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 339 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 243 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4797 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   <.cop 3656   `'ccnv 4704
This theorem is referenced by:  xp0  5114  cnveq0  5146  co01  5203  f10  5523  f1o00  5524  tpos0  6280  oduleval  14251  gsumval3  15207  nghmfval  18247  isnghm  18248  empos  25345  0trl  28344  0pth  28356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713
  Copyright terms: Public domain W3C validator