MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Structured version   Unicode version

Theorem cnv0 5267
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5234 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4991 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2951 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2951 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5046 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3624 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3624 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 340 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 244 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4962 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   <.cop 3809   `'ccnv 4869
This theorem is referenced by:  xp0  5283  cnveq0  5319  co01  5376  f10  5701  f1o00  5702  tpos0  6501  oduleval  14550  gsumval3  15506  ust0  18241  nghmfval  18748  isnghm  18749  0trl  21538  0pth  21562  1pthonlem1  21581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878
  Copyright terms: Public domain W3C validator