MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Unicode version

Theorem cnv0 5084
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5051 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4810 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 4863 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3459 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3459 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 339 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 243 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4781 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   <.cop 3643   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  xp0  5098  cnveq0  5130  co01  5187  f10  5507  f1o00  5508  tpos0  6264  oduleval  14235  gsumval3  15191  nghmfval  18231  isnghm  18232  empos  25242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator