MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Structured version   Unicode version

Theorem cnv0 5278
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5245 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 5002 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2961 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5057 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3634 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3634 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 341 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 245 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4973 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   <.cop 3819   `'ccnv 4880
This theorem is referenced by:  xp0  5294  cnveq0  5330  co01  5387  f10  5712  f1o00  5713  tpos0  6512  oduleval  14563  gsumval3  15519  ust0  18254  nghmfval  18761  isnghm  18762  0trl  21551  0pth  21575  1pthonlem1  21594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator