MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnv0 Unicode version

Theorem cnv0 5217
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5184 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4941 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2904 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2904 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 4996 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3577 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3577 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 340 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 244 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4912 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3573   <.cop 3762   `'ccnv 4819
This theorem is referenced by:  xp0  5233  cnveq0  5269  co01  5326  f10  5651  f1o00  5652  tpos0  6447  oduleval  14487  gsumval3  15443  ust0  18172  nghmfval  18629  isnghm  18630  0trl  21412  0pth  21426  1pthonlem1  21439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-br 4156  df-opab 4210  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828
  Copyright terms: Public domain W3C validator