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Theorem cnvadj 22488
Description: The adjoint function equals its converse. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvadj  |-  `' adjh  = 
adjh

Proof of Theorem cnvadj
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvopab 5099 . . 3  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) }
2 3ancoma 941 . . . . 5  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
3 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( u `  y
)  e.  ~H )
4 ax-his1 21677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( u `  y ) ) ) )
65adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( t `  x
)  e.  ~H )
8 ax-his1 21677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t `  x
)  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
97, 8sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
) )
109adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
116, 10eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
1211ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
13 hicl 21675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u `  y
)  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
143, 13sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( u `  y ) )  e.  CC )
1514adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
16 hicl 21675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
177, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1817adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
19 cj11 11663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( u `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2112, 20bitr2d 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )  <->  ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) ) ) )
2221an4s 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
2322anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
24 eqcom 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) )  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
)
2523, 24syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2625ralbidva 2572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2726ralbidva 2572 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
28 ralcom 2713 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )
2927, 28syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3029pm5.32i 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
31 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
32 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
342, 33bitri 240 . . . 4  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3534opabbii 4099 . . 3  |-  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
361, 35eqtri 2316 . 2  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( ( u `  y ) 
.ih  x ) ) }
37 dfadj2 22481 . . 3  |-  adjh  =  { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
3837cnveqi 4872 . 2  |-  `' adjh  =  `' { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
39 dfadj2 22481 . 2  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
4036, 38, 393eqtr4i 2326 1  |-  `' adjh  = 
adjh
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {copab 4092   `'ccnv 4704   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   *ccj 11597   ~Hchil 21515    .ih csp 21518   adjhcado 21551
This theorem is referenced by:  funcnvadj  22489  adj1o  22490  adjbdlnb  22680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-hfi 21674  ax-his1 21677
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-adjh 22445
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