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Theorem cnvadj 22472
Description: The adjoint function equals its converse. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvadj  |-  `' adjh  = 
adjh

Proof of Theorem cnvadj
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvopab 5083 . . 3  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) }
2 3ancoma 941 . . . . 5  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
3 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( u `  y
)  e.  ~H )
4 ax-his1 21661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( u `  y ) ) ) )
65adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( u `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) ) )
7 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( t `  x
)  e.  ~H )
8 ax-his1 21661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t `  x
)  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
97, 8sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
) )
109adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
116, 10eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
1211ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( u `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) ) )
13 hicl 21659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u `  y
)  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
143, 13sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( u `  y ) )  e.  CC )
1514adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC )
16 hicl 21659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
177, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1817adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
19 cj11 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .ih  (
u `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( t `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( u `  y
) ) )  =  ( * `  (
( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( u `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( t `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) )
2112, 20bitr2d 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )  <->  ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) ) ) )
2221an4s 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
2322anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( u `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `
 x ) ) ) )
24 eqcom 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( t `  x
) )  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
)
2523, 24syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x 
.ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2625ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
2726ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
28 ralcom 2700 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )
2927, 28syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3029pm5.32i 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
31 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
32 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) )  <->  ( (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
y  .ih  ( t `  x ) )  =  ( ( u `  y )  .ih  x
) ) )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
342, 33bitri 240 . . . 4  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) )
3534opabbii 4083 . . 3  |-  { <. t ,  u >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
361, 35eqtri 2303 . 2  |-  `' { <. u ,  t >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( y  .ih  (
t `  x )
)  =  ( ( u `  y ) 
.ih  x ) ) }
37 dfadj2 22465 . . 3  |-  adjh  =  { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
3837cnveqi 4856 . 2  |-  `' adjh  =  `' { <. u ,  t
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  y
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  y )
) }
39 dfadj2 22465 . 2  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( y  .ih  ( t `  x
) )  =  ( ( u `  y
)  .ih  x )
) }
4036, 38, 393eqtr4i 2313 1  |-  `' adjh  = 
adjh
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {copab 4076   `'ccnv 4688   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   *ccj 11581   ~Hchil 21499    .ih csp 21502   adjhcado 21535
This theorem is referenced by:  funcnvadj  22473  adj1o  22474  adjbdlnb  22664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hfi 21658  ax-his1 21661
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-adjh 22429
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