MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvcnvsn Unicode version

Theorem cnvcnvsn 5150
Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5155, this does not need any sethood assumptions on  A and  B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvsn  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5051 . 2  |-  Rel  `' `' { <. A ,  B >. }
2 relcnv 5051 . 2  |-  Rel  `' { <. B ,  A >. }
3 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 4863 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. } )
6 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  x  =  A )
)
73, 4opth 4245 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
84, 3opth 4245 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. B ,  A >.  <->  (
y  =  B  /\  x  =  A )
)
96, 7, 83bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. y ,  x >.  = 
<. B ,  A >. )
10 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1110elsnc 3663 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
12 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1312elsnc 3663 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  =  <. B ,  A >. )
149, 11, 133bitr4i 268 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
154, 3opelcnv 4863 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } )
163, 4opelcnv 4863 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' { <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
1714, 15, 163bitr4i 268 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
185, 17bitri 240 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
191, 2, 18eqrelriiv 4781 1  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  rnsnopg  5152  cnvsn  5155  strlemor1  13235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator