MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvcnvsn Structured version   Unicode version

Theorem cnvcnvsn 5347
Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5352, this does not need any sethood assumptions on  A and  B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvsn  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5242 . 2  |-  Rel  `' `' { <. A ,  B >. }
2 relcnv 5242 . 2  |-  Rel  `' { <. B ,  A >. }
3 vex 2959 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2959 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 5054 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. } )
6 ancom 438 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  x  =  A )
)
73, 4opth 4435 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
84, 3opth 4435 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. B ,  A >.  <->  (
y  =  B  /\  x  =  A )
)
96, 7, 83bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. y ,  x >.  = 
<. B ,  A >. )
10 opex 4427 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1110elsnc 3837 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
12 opex 4427 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1312elsnc 3837 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  =  <. B ,  A >. )
149, 11, 133bitr4i 269 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
154, 3opelcnv 5054 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } )
163, 4opelcnv 5054 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' { <. B ,  A >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. B ,  A >. } )
1714, 15, 163bitr4i 269 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
185, 17bitri 241 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
191, 2, 18eqrelriiv 4970 1  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814   <.cop 3817   `'ccnv 4877
This theorem is referenced by:  rnsnopg  5349  cnvsn  5352  strlemor1  13556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886
  Copyright terms: Public domain W3C validator