MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvdif Unicode version

Theorem cnvdif 5087
Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvdif  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )

Proof of Theorem cnvdif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5051 . 2  |-  Rel  `' ( A  \  B )
2 difss 3303 . . 3  |-  ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A
3 relcnv 5051 . . 3  |-  Rel  `' A
4 relss 4775 . . 3  |-  ( ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A  ->  ( Rel  `' A  ->  Rel  ( `' A  \  `' B ) ) )
52, 3, 4mp2 17 . 2  |-  Rel  ( `' A  \  `' B
)
6 eldif 3162 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( A  \  B
)  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
7 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
8 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
97, 8opelcnv 4863 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( A  \  B ) )
10 eldif 3162 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B ) )
117, 8opelcnv 4863 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' A  <->  <. y ,  x >.  e.  A )
127, 8opelcnv 4863 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1312notbii 287 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  `' B  <->  -.  <. y ,  x >.  e.  B
)
1411, 13anbi12i 678 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
1510, 14bitri 240 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
166, 9, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B
) )
171, 5, 16eqrelriiv 4781 1  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   <.cop 3643   `'ccnv 4688   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  cnvin  5088  gtiso  23241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator