MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnveq Unicode version

Theorem cnveq 4871
Description: Equality theorem for converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
cnveq  |-  ( A  =  B  ->  `' A  =  `' B
)

Proof of Theorem cnveq
StepHypRef Expression
1 cnvss 4870 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  `' A  C_  `' B )
2 cnvss 4870 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  `' B  C_  `' A )
31, 2anim12i 549 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  -> 
( `' A  C_  `' B  /\  `' B  C_  `' A ) )
4 eqss 3207 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
5 eqss 3207 . 2  |-  ( `' A  =  `' B  <->  ( `' A  C_  `' B  /\  `' B  C_  `' A
) )
63, 4, 53imtr4i 257 1  |-  ( A  =  B  ->  `' A  =  `' B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    C_ wss 3165   `'ccnv 4704
This theorem is referenced by:  cnveqi  4872  cnveqd  4873  rneq  4920  cnveqb  5145  funcnvuni  5333  f1eq1  5448  f1o00  5524  foeqcnvco  5820  tposfn2  6272  ereq1  6683  wemapso2  7283  cantnfs  7383  oemapso  7400  mapfien  7415  1arith  12990  vdwmc  13041  vdwnnlem1  13058  ramub2  13077  rami  13078  isps  14327  istsr  14342  isdir  14370  dprdw  15261  psrbag  16128  psrbaglefi  16134  mplelbas  16191  mplsubglem  16195  mpllsslem  16196  ltbwe  16230  iscn  16981  ishmeo  17466  symgtgp  17800  isi1f  19045  itg1val  19054  mdegval  19465  fta1lem  19703  fta1  19704  vieta1lem2  19707  vieta1  19708  sqff1o  20436  nlfnval  22477  ismbfm  23572  indf1ofs  23624  iscvm  23805  predeq1  24240  nfwval  25348  pw2f1o2val  27235  frlmelbas  27327  frlmssuvc1  27349  frlmssuvc2  27350  frlmsslsp  27351  ellspd  27357  pwfi2f1o  27363  islindf4  27411  istrl  28336  isspth  28355  0spth  28357  lkrval  29900  ltrncnvnid  30938  cdlemkuu  31706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-in 3172  df-ss 3179  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713
  Copyright terms: Public domain W3C validator