MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Unicode version

Theorem cnvexg 5407
Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5244 . . 3  |-  Rel  `' A
2 relssdmrn 5392 . . 3  |-  ( Rel  `' A  ->  `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )
4 df-rn 4891 . . . 4  |-  ran  A  =  dom  `' A
5 rnexg 5133 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
64, 5syl5eqelr 2523 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  `' A  e.  _V )
7 dfdm4 5065 . . . 4  |-  dom  A  =  ran  `' A
8 dmexg 5132 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  A  e.  _V )
97, 8syl5eqelr 2523 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  `' A  e.  _V )
10 xpexg 4991 . . 3  |-  ( ( dom  `' A  e. 
_V  /\  ran  `' A  e.  _V )  ->  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )
116, 9, 10syl2anc 644 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )
12 ssexg 4351 . 2  |-  ( ( `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  /\  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )  ->  `' A  e. 
_V )
133, 11, 12sylancr 646 1  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   Rel wrel 4885
This theorem is referenced by:  cnvex  5408  relcnvexb  5409  cofunex2g  5962  tposexg  6495  cnven  7184  fopwdom  7218  domssex2  7269  domssex  7270  cnvfi  7392  cantnfcl  7624  cantnflem1  7647  wemapwe  7656  fin1a2lem7  8288  fpwwe  8523  hasheqf1oi  11637  imasle  13750  cnvps  14646  gsumvalx  14776  symginv  15107  metustelOLD  18583  metustel  18584  metustssOLD  18585  metustss  18586  metustfbasOLD  18597  metustfbas  18598  metuel2  18611  metutopOLD  18614  psmetutop  18615  restmetu  18619  itg2gt0  19654  nlfnval  23386  cnvct  24109  orvcval  24717  coinfliprv  24742  relexpcnv  25135  relexprel  25136  pw2f1o2val  27112  lmhmlnmsplit  27164  xpexb  27636  lkrval  29948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891
  Copyright terms: Public domain W3C validator