MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Unicode version

Theorem cnvfi 7328
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5267 . . 3  |-  `' `' A  C_  A
2 ssfi 7267 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  `' `' A  C_  A )  ->  `' `' A  e.  Fin )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' `' A  e.  Fin )
4 relcnv 5184 . . 3  |-  Rel  `' A
5 cnvexg 5347 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  _V )
6 cnven 7120 . . 3  |-  ( ( Rel  `' A  /\  `' A  e.  _V )  ->  `' A  ~~  `' `' A )
74, 5, 6sylancr 645 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  ~~  `' `' A
)
8 enfii 7264 . 2  |-  ( ( `' `' A  e.  Fin  /\  `' A  ~~  `' `' A )  ->  `' A  e.  Fin )
93, 7, 8syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   `'ccnv 4819   Rel wrel 4825    ~~ cen 7044   Fincfn 7047
This theorem is referenced by:  rnfi  7329  fsumcnv  12486  gsumcom3  27125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-er 6843  df-en 7048  df-fin 7051
  Copyright terms: Public domain W3C validator