MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Unicode version

Theorem cnvfi 7382
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5317 . . 3  |-  `' `' A  C_  A
2 ssfi 7321 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  `' `' A  C_  A )  ->  `' `' A  e.  Fin )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' `' A  e.  Fin )
4 relcnv 5234 . . 3  |-  Rel  `' A
5 cnvexg 5397 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  _V )
6 cnven 7174 . . 3  |-  ( ( Rel  `' A  /\  `' A  e.  _V )  ->  `' A  ~~  `' `' A )
74, 5, 6sylancr 645 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  ~~  `' `' A
)
8 enfii 7318 . 2  |-  ( ( `' `' A  e.  Fin  /\  `' A  ~~  `' `' A )  ->  `' A  e.  Fin )
93, 7, 8syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   Rel wrel 4875    ~~ cen 7098   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  rnfi  7383  fsumcnv  12549  fprodcnv  25299  gsumcom3  27422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator