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Theorem cnvpo 5213
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpo  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )

Proof of Theorem cnvpo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
2 ralidm 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
3 rzal 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  -.  x R x )
4 rzal 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
53, 42thd 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
6 r19.3rzv 3547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  x R x  <->  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
76ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
85, 7pm2.61ine 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
92, 8bitr2i 241 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x )
109anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
111, 10bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
12 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1312ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
14 r19.26 2675 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
16 r19.26 2675 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
17 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
1817, 17brcnv 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R z  <->  z R
z )
19 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
2019, 19breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z R z  <->  x R x ) )
2118, 20syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z `' R z  <-> 
x R x ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z `' R z  <->  -.  x R x ) )
2322cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
24 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2517, 24brcnv 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
26 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2724, 26brcnv 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2825, 27anbi12ci 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  <->  ( x R y  /\  y R z ) )
2917, 26brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
3028, 29imbi12i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3130ralbii 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3223, 31anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
3316, 32bitr2i 241 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3433ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
35 ralcom 2700 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3634, 35bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3715, 36bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3837ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
39 ralcom 2700 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
40 ralcom 2700 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4138, 39, 403bitr4i 268 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
42 df-po 4314 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
43 df-po 4314 . 2  |-  ( `' R  Po  A  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4441, 42, 433bitr4i 268 1  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Po wpo 4312   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  cnvso  5214  fimax2g  7103  fin23lem40  7977  isfin1-3  8012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-po 4314  df-cnv 4697
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