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Theorem cnvpo 5402
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpo  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )

Proof of Theorem cnvpo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
2 ralidm 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
3 rzal 3721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  -.  x R x )
4 rzal 3721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
53, 42thd 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
6 r19.3rzv 3713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  x R x  <->  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
76ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x ) )
85, 7pm2.61ine 2674 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x )
92, 8bitr2i 242 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  <->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x )
109anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
111, 10bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
12 r19.26 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1312ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. z  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
14 r19.26 2830 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
16 r19.26 2830 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
17 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
1817, 17brcnv 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R z  <->  z R
z )
19 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
2019, 19breq12d 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z R z  <->  x R x ) )
2118, 20syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z `' R z  <-> 
x R x ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  z `' R z  <->  -.  x R x ) )
2322cbvralv 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  <->  A. x  e.  A  -.  x R x )
24 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2517, 24brcnv 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
26 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2724, 26brcnv 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2825, 27anbi12ci 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  <->  ( x R y  /\  y R z ) )
2917, 26brcnv 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
3028, 29imbi12i 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3130ralbii 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x )  <->  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
3223, 31anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  A  -.  z `' R z  /\  A. z  e.  A  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
3316, 32bitr2i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3433ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
35 ralcom 2860 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3634, 35bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. x  e.  A  -.  x R x  /\  A. z  e.  A  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3715, 36bitri 241 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
3837ralbii 2721 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
39 ralcom 2860 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
40 ralcom 2860 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  ( ( z `' R y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4138, 39, 403bitr4i 269 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
42 df-po 4495 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
43 df-po 4495 . 2  |-  ( `' R  Po  A  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( -.  z `' R z  /\  (
( z `' R
y  /\  y `' R x )  -> 
z `' R x ) ) )
4441, 42, 433bitr4i 269 1  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    =/= wne 2598   A.wral 2697   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Po wpo 4493   `'ccnv 4869
This theorem is referenced by:  cnvso  5403  fimax2g  7345  fin23lem40  8223  isfin1-3  8258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-po 4495  df-cnv 4878
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