MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsn Unicode version

Theorem cnvsn 5155
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvsn.1  |-  A  e. 
_V
cnvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cnvsn  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvsn
StepHypRef Expression
1 cnvcnvsn 5150 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  `' { <. A ,  B >. }
2 cnvsn.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 cnvsn.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
42, 3relsnop 4791 . . 3  |-  Rel  { <. B ,  A >. }
5 dfrel2 5124 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. B ,  A >. }  <->  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
64, 5mpbi 199 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. }
71, 6eqtr3i 2305 1  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   `'ccnv 4688   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  op2ndb  5156  cnvsng  5158  f1osn  5513  1sdom  7065  ex-cnv  20824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
  Copyright terms: Public domain W3C validator