Theorem cnvsn 3449

Description: Converse of a singleton of an ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. V
cnvsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3435	. 2 |- Rel `'{<.A, B>.}
2		cnvsn.2	. . 3 |- B e. V
3	2	relsn 3254	. 2 |- Rel {<.B, A>.}
4		ancom 435	. . 3 |- ((y = B /\ x = A) <-> (x = A /\ y = B))
5		opex 2782	. . . . 5 |- <.y, x>. e. V
6	5	elsnc 2431	. . . 4 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> <.y, x>. = <.B, A>.)
7		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
9		cnvsn.1	. . . . 5 |- A e. V
10	7, 8, 9	opth 2787	. . . 4 |- (<.y, x>. = <.B, A>. <-> (y = B /\ x = A))
11	6, 10	bitr 173	. . 3 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> (y = B /\ x = A))
12	7, 8	opelcnv 3298	. . . 4 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
13		opex 2782	. . . . 5 |- <.x, y>. e. V
14	13	elsnc 2431	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
15	8, 7, 2	opth 2787	. . . 4 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
16	12, 14, 15	3bitr 177	. . 3 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> (x = A /\ y = B))
17	4, 11, 16	3bitr4r 184	. 2 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.y, x>. e. {<.B, A>.})
18	1, 3, 17	eqrelriv 3251	1 |- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {csn 2409  <.cop 2411  `'ccnv 3169

This theorem is referenced by:  rnsnop 3450  op2ndb 3451  op2nda 3452  f1osn 3719  xpcomen 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain