MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsn Unicode version

Theorem cnvsn 5171
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvsn.1  |-  A  e. 
_V
cnvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cnvsn  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvsn
StepHypRef Expression
1 cnvcnvsn 5166 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  `' { <. A ,  B >. }
2 cnvsn.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 cnvsn.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
42, 3relsnop 4807 . . 3  |-  Rel  { <. B ,  A >. }
5 dfrel2 5140 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. B ,  A >. }  <->  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
64, 5mpbi 199 . 2  |-  `' `' { <. B ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. }
71, 6eqtr3i 2318 1  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   `'ccnv 4704   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  op2ndb  5172  cnvsng  5174  f1osn  5529  1sdom  7081  ex-cnv  20840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713
  Copyright terms: Public domain W3C validator