MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsng Structured version   Unicode version

Theorem cnvsng 5390
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )

Proof of Theorem cnvsng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 4013 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
21sneqd 3856 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { <. x ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
32cnveqd 5083 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  `' { <. x ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  y >. } )
4 opeq2 4014 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  <. y ,  x >.  =  <. y ,  A >. )
54sneqd 3856 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  { <. y ,  x >. }  =  { <. y ,  A >. } )
63, 5eqeq12d 2457 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( `' { <. x ,  y
>. }  =  { <. y ,  x >. }  <->  `' { <. A ,  y >. }  =  { <. y ,  A >. } ) )
7 opeq2 4014 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
87sneqd 3856 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  { <. A ,  y >. }  =  { <. A ,  B >. } )
98cnveqd 5083 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  `' { <. A ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  B >. } )
10 opeq1 4013 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  <. y ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
1110sneqd 3856 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  { <. y ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
129, 11eqeq12d 2457 . 2  |-  ( y  =  B  ->  ( `' { <. A ,  y
>. }  =  { <. y ,  A >. }  <->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } ) )
13 vex 2968 . . 3  |-  x  e. 
_V
14 vex 2968 . . 3  |-  y  e. 
_V
1513, 14cnvsn 5387 . 2  |-  `' { <. x ,  y >. }  =  { <. y ,  x >. }
166, 12, 15vtocl2g 3024 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   {csn 3843   <.cop 3846   `'ccnv 4912
This theorem is referenced by:  opswap  5391  funsng  5532  f1oprswap  5752  constr2spthlem1  21632  constr3pthlem2  21681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pr 4438
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-br 4244  df-opab 4298  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921
  Copyright terms: Public domain W3C validator