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Theorem cnvso 5230
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvso  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem cnvso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpo 5229 . . 3  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
2 ralcom 2713 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
3 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 4880 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
6 equcom 1665 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
74, 3brcnv 4880 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 6, 73orbi123i 1141 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
982ralbii 2582 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
102, 9bitr4i 243 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) )
111, 10anbi12i 678 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) ) )
12 df-so 4331 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
13 df-so 4331 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 268 1  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1632   A.wral 2556   class class class wbr 4039    Po wpo 4328    Or wor 4329   `'ccnv 4704
This theorem is referenced by:  wofib  7276  oemapso  7400  cflim2  7905  fin23lem40  7993  lbinfm  9723  infmsup  9748  infmrgelb  9750  infmrlb  9751  infmxrcl  10651  infmxrlb  10668  infmxrgelb  10669  xrinfm0  10671  limsupval  11964  odzval  12872  ramval  13071  ramcl2lem  13072  imasdsfn  13433  imasdsval  13434  odval  14865  odf  14868  gexval  14905  nmoval  18240  metdsval  18367  ovolval  18849  ovolf  18857  dvlt0  19368  elqaalem1  19715  elqaalem3  19717  aalioulem2  19729  ballotlemi  23075  ballotlemiex  23076  ballotlemsup  23079  ballotlemimin  23080  ballotlemfrcn0  23104  ballotlemirc  23106  xrge0iifiso  23332  erdszelem9  23745  erdszelem11  23747  inffz  24110  gtinf  26337  welb  26520  rencldnfilem  27006  pellfundval  27068  dgraaval  27452  dgraaf  27455  infrglb  27825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-po 4330  df-so 4331  df-cnv 4713
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