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Theorem cnvso 5214
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvso  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem cnvso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpo 5213 . . 3  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
2 ralcom 2700 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
3 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 4864 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
6 equcom 1647 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
74, 3brcnv 4864 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 6, 73orbi123i 1141 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
982ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
102, 9bitr4i 243 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) )
111, 10anbi12i 678 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) ) )
12 df-so 4315 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
13 df-so 4315 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 268 1  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623   A.wral 2543   class class class wbr 4023    Po wpo 4312    Or wor 4313   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  wofib  7260  oemapso  7384  cflim2  7889  fin23lem40  7977  lbinfm  9707  infmsup  9732  infmrgelb  9734  infmrlb  9735  infmxrcl  10635  infmxrlb  10652  infmxrgelb  10653  xrinfm0  10655  limsupval  11948  odzval  12856  ramval  13055  ramcl2lem  13056  imasdsfn  13417  imasdsval  13418  odval  14849  odf  14852  gexval  14889  nmoval  18224  metdsval  18351  ovolval  18833  ovolf  18841  dvlt0  19352  elqaalem1  19699  elqaalem3  19701  aalioulem2  19713  ballotlemi  23059  ballotlemiex  23060  ballotlemsup  23063  ballotlemimin  23064  ballotlemfrcn0  23088  ballotlemirc  23090  xrge0iifiso  23317  erdszelem9  23730  erdszelem11  23732  inffz  24095  gtinf  26234  welb  26417  rencldnfilem  26903  pellfundval  26965  dgraaval  27349  dgraaf  27352  infrglb  27722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-po 4314  df-so 4315  df-cnv 4697
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