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Theorem cnvso 5411
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvso  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem cnvso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpo 5410 . . 3  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
2 ralcom 2868 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
3 vex 2959 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 vex 2959 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 5055 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
6 equcom 1692 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
74, 3brcnv 5055 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 6, 73orbi123i 1143 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
982ralbii 2731 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
102, 9bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) )
111, 10anbi12i 679 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) ) )
12 df-so 4504 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
13 df-so 4504 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 269 1  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935   A.wral 2705   class class class wbr 4212    Po wpo 4501    Or wor 4502   `'ccnv 4877
This theorem is referenced by:  wofib  7514  oemapso  7638  cflim2  8143  fin23lem40  8231  lbinfm  9961  infmsup  9986  infmrgelb  9988  infmrlb  9989  infmxrcl  10895  infmxrlb  10912  infmxrgelb  10913  xrinfm0  10915  limsupval  12268  odzval  13177  ramval  13376  ramcl2lem  13377  imasdsfn  13740  imasdsval  13741  odval  15172  odf  15175  gexval  15212  nmoval  18749  metdsval  18877  ovolval  19370  ovolf  19378  dvlt0  19889  elqaalem1  20236  elqaalem3  20238  aalioulem2  20250  tosglb  24192  xrge0iifiso  24321  ballotlemi  24758  ballotlemiex  24759  ballotlemsup  24762  ballotlemimin  24763  ballotlemfrcn0  24787  ballotlemirc  24789  erdszelem9  24885  erdszelem11  24887  inffz  25200  gtinf  26322  welb  26438  rencldnfilem  26881  pellfundval  26943  dgraaval  27326  dgraaf  27329  infrglb  27698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-po 4503  df-so 4504  df-cnv 4886
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